2. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR FONCTIONS VECTORIELLES ET COURBES PARAMÉTRÉES 305
t
0
x'(t) 0
+
x(t) 0 --------------7r
y(t) --------------- 2
0
y' ( t) 0
+
0
On s'aperçoit de la présence d'un point stationnaire en t =O.
Étude du point stationnaire
(-~-On doit déterminer les valeurs en 0 des dérivées successives d,e x et de y en O. Pour
cela il existe deux méthodes également praticables ici : les développements limités
ou le calcul des dérivées successives. Nous prendrons cette deuxième méthode car
ici c'est très facile :
x"(t) = sint;x< 3 )(t) = cost;y"(t) = cost;y< 3 )(t) = -sint;
x"(O) = o ; x< 3 )(o) = 1 ; y"(O) = 1 ; y< 3 )(o) =o.
f"(O) = (0, 1) et j< 3 )(0) = (1, 0) ne sont donc pas coliqéaires, donc avec les
notations du cours, p = 2 et q = 3 : la courbe présente en son point correspondant
à t = 0, c'est-à-dire à l'origine, un point de rebroussement de première espèce. La
tangente en ce point est dirigée par f"(O) = (0, 1) = f, et pour t > 0, la courbe
«repart » du côté de j( 3 )(0) = (1, 0) = i.
Autres particularités de la courbe
On peut noter une tangente horizontale en t = 7r, au point (7r, 2).
C'est à peu près la seule chose remarquable de cette courbe dont l'intérêt résidait
essentiellement dans le raisonnement lors de la réduction du domaine d'étude.
Voici maintenant l'aspect de cette courbe.
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