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SOLUTIONS DES EXERCICES
On a donc -llY - Xll2 > -r et d2(Y, D) ~ !IX - Hll2 - llY - Xll2 > r - r =O.
On a montré que d2(Y, D) i- 0, donc Y démonstration que D est un fermé.
2.b) Soit (XP)pEN une suite convergente d'éléments de D. Nous allons établir en
toute généralité que la limite L = (fi,f2) de cette suite appartient à D, ce qui
nous permettra d'affirmer que (Ox) est fermé.
Si pour tout p E N, (xp, yp) = XP, le fait que (XP)pE.N soit une suite convergente
vers L signifie que les deux suites numériques (xp) et (yp) sont convergentes
respectivement vers .ei et f2.
Mais le fait que (XP)pEN soit une suite d'éléments de D signifie que pour tout
p EN, on a axp + byp + c =O. Posons Wp = axp + byp + c. Cette suite dont tous
les termes sont nuls a forcément pour limite O. On peut donc écrire
lim axp + byp + c = 0
p---++oo
Mais les suites (xp) et (yp) étant convergentes, les règles élémentaires d'opérations
sur les limites de suites permettent d'affirmer que
lim axp + byp + c =a( lim xp) + b( lim Yp) + c = af1 + b.e2 + c
p---++oo
p---++oo
p---++oo
On a donc af1 + bf2 + c = 0 et LED
On a établi que D est un fermé.
CHAPITRE 2
2. Solutions des exercices sur fonctions vectorielles et courbes paramétrées
Exercice 2.1.
{
x(t) = t - sint
y=l-cost
(voir p. 40)
La courbe obtenue s'appelle une cycloïde. C'est la trajectoire d'un point extérieur
à une circonférence qui roule sans glisser.
On a vu que le domaine d'étude pertinent est [O, 7r] et qu'ensuite, on pourra
compléter par symétrie, puis par translation. (L'ensemble de définition est bien
sûr~.)
x'(t) = 1- cost ~ 0
y' ( t) = sin t ~ 0 (pour t E [O, 7r])
d'où le tableau de variation sur [O, 7r] :