1. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LA TOPOLOGIE DANS Rn
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On a établi que ( Ox) est un fermé.
2. a) Un résultat classique de géométrie du plan est que la distance (euclidienne)
d'un point X= (x, y) à la droite D : ax + by + c = 0 est égale à
= d (X D) = lax + by + cl
r
2
'
Ja2 + b2 '
et que cette quantité est le minimum de la distance entre X et un point M de
la droite; on sait de plus que ce minimum est atteint en un unique point qui est
le point K, projeté orthogonal de X sur la droite D, donc on a pour tout point
MED,
Soit U le complémentaire de la droite D; on va montrer que U est un ouvert.
Soit X = (x, y) EU. Puisque X r f O.
lax + by +cl
Montrons que B 2 (X, r), boule ouverte de centre X, de rayon r =
2
2
v'a +b
est incluse dans U.
Soit Y= (z, t) E B(X, r). Pour établir que Y est dans U, il suffit d'établir que la
distance de Y à la droite D est non nulle.
Or, si H est le projeté orthogonal de Y sur D, on a
d (Y D) = iaz + bt + cJ = d (Y H) = llY - HIJ
2 '
Ja2 + b2
2 '
2
Mais grâce à la deuxième inégalité triangulaire, on a
Or, llX - Hl12 = d2(X, H) ;;::: d2(X, K) = r puisque H E D.
D'autre part, on a llY - Xll2 < r puisque Y E B2(X, r).