308
SOLUTIONS DES EXERCICES
Tout d'abord, dans la suite, pour alléger les notations, nous poserons t = ti pour
i valant 1 ou 2, et t' désignera l'autre tj, avec j =Fi. Le coefficient directeur de la
tangente en t à la courbe est
y'(t)
t(t + 2)(t - 1) 2
(t 2 + 2t)(t 2 - 2t + 1)
a = - - =
= -
.
x'(t)
-t 2 - 1
t 2 + 1
On utilise alors que t 2 = t + 1 autant de fois que nécessaire, puis on multiplie
numérateur et dénominateur par (t' + 2).
(3t + 1)(-t + 2)
-3t 2 + 5t + 2
a== - - - - - -
t+2
t+2
-2t + 1 (t' + 2)(-2t + 1)
-2P - 4t + t' + 2
=
=
= - - - - - - -
t + 2
tt' + 2( t + t') + 4
p + 28 + 4
Puisque P = -1 et S = 1 sont connus, on a aussi t' = 1 - t donc
a= 2 - 4t + (1 - t) + 2 = -5t + 5 = 1 _ t = t'.
-1+2+4
5
Finalement, une des tangentes est de coefficient directeur i+/ 5 ~ 1, 618, l'autre
1 - 2 v'5 ~ -0, 618. Remarquons que le produit de ces deux coefficients directeurs est
P = -1 de sorte que les deux tangentes en ce point double sont perpendiculaires.
On peut aussi chercher à localiser avec précision les points d'intersections de la
courbe avec les asymptotes. Pour cela on résout d'une part y = ! {: : : : : : : : } t = -! ;
on reporte dans l'expression de x et on trouve x(-!) = ~ : la courbe coupe
l'asymptote horizontale en (~, !).
D'autre part, le calcul qu'on a fait pour déterminer la position relative de la
courbe et de l'asymptote oblique permet de déterminer les points d'intersection
de la courbe et de cette asymptote sans nouveau calcul (sinon, on résoudrait
y = 2x - ~). Puisque y(t) - (2x - ~) = Li(t) = (t ~~~t 1 ) 3 ), cette quantité
est nulle pour t = -1 (mais ce n'est pas une valeur acceptée de l'ensemble de
définition) et pour t = ~ de sorte que c'est pour seulement pour cette valeur
t = ~ que la courbe rencontre l'asymptote oblique. Le point de rencontre a pour
coordonnées (x(~),y(~)) = (~, 1 9 0 ) = (1,2;0,9); on peut vérifier qu'on a bien
2 x 1,2 - 1,5 = 2,4 - 1,5 = 0,9 : c'est bien un point de l'asymptote oblique.