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SOLUTIONS DES EXERCICES
-x + V 4 - 3x 2
-x - .J 4 - 3x 2
fi(x) =_
2
et f2(x) =
2
et la zone du plan correspondant à Ê(O, 1) est celle située entre ces deux courbes.
On peut montrer, (mais ce n'est pas l'objet de ce cours) que le contour de cette
boule est une ellipse dont les axes sont les bissectrices du repère, et qui admet
comme demi-grand axe: a= J2 et comme demi-petit axe: b = ~·
Sur le même dessin, on dessine les cercles de rayons ë1 = J2 et b = ~. Pour
la norme li· 112, les boules fermées B2(0, i) et B2(0, !) sont les disques fermés
limités par ces cercles.
y
1.50
~ Ê(O,l)
X
-
1
B2(0, ~)
CD
-
1
B2(0 -)
'a
Ce dessin illustre que B2(0, !) c Ê(O, 1) c B2(0, i)·
Ce résultat est prévisible, puisque :
allXll2 ~ N(X) ~ ,BllXll2
donc
1
~
1
llXll2 ~ fj ===> N(X) ~ 1 ===> llXll2 ~ ~
Exercice 1.9.
Soit L la limite de la suite (XP)pEN· Il semble logique de conjecturer que la limite
de la suite (up)pEN, si elle existe est égale à f = d2(Yo, L). Pour montrer cela, il
faudra, pour tout E > 0, trouver un rang à partir duquel on pourra garantir que
lup-fl ~ E.
Nous allons essayer de trouver des conditions suffisantes pour obtenir cette inégalité.
Elle s'écrit