1. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LA TOPOLOGIE DANS !Rn
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Mais la seconde inégalité triangulaire (propriété (d3)' p. 8) nous donne
Donc il suffit que nous puissions obtenir d2 ( XP, L) ~ c pour pouvoir conclure. Or,
par hypothèse, on a lim UP = L, donc Ve> 0, 3po EN tel que si p ~Po, on a
p-++oo
- -
llXP - Lll2 ~ c, c'est-à-dire d2(XP - L) ~ é. d'après le calcul préliminaire, on
peut donc en déduire ce qu'on veut, à savoir que lup - RI ~ c
La suite ( up)pEN est donc bien convergente vers f.
Exercice 1.10. 1. On doit montrer que pour tout point X de U, il existe une
boule centrée en X qui est incluse dans U.
Soit donc XE U. X n'est donc pas nul, et on a donc r = llXll -=/:-O. (Il· Il désigne
n'importe quelle norme). Nous allons établir que la boule ouverte B(X, r), de
centre X, de rayon r est entièrement incluse dans U. Pour cela, il suffit de montrer
que tous les éléments Y de B(X, r) sont non nuls.
Soit Y E B(X, r). La deuxième inégalité triangulaire nous donne
llXll - llY -XII~ lllXll - llY -XIII~ llX +(Y -X)ll = llYll·
On a donc llYll ~ llXll - llY - XII = r - llY - x11.
Mais, puisque Y est dans la boule ouverte de centre X, de rayon r, on a par
définition de cette boule :
d(Y,X) = llY-Xll < r
D'où r - llY - XII > 0 et llYll > 0, donc llYll -=/:- 0 et on peut conclure que Y n'est
pas le vecteur nul et qu'il appartient donc à U.
Remarquons que cette démonstration est valable sans changement dans ]Rn, quel
que soit n; elle est d'ailleurs valable à quelques détails près dans n'importe quel
espace métrique : le complémentaire d'un point est toujours un ouvert.
2. Considérons maintenant une suite convergente (XP)pEN d'éléments qui sont
tous dans le complémentaire de U. Le complémentaire de U est {O}. Les termes de
la suite (XP) sont donc tous nuls. On a Vp EN, XP = 0, et cette suite constante
a donc forcément comme limite O. La limite de cette suite convergente est bien
dans le complémentaire de U: {O} est un fermé et U est bien un ouvert.
Exercice 1.11.
1. a) Le complémentaire de l'axe des abscisses U est formé des couples (x, y) avec
y-=/:- O. Montrons que c'est un ouvert. Pour cela, on doit établir que pour tout
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Mais la seconde inégalité triangulaire (propriété (d3)' p. 8) nous donne
Donc il suffit que nous puissions obtenir d2 ( XP, L) ~ c pour pouvoir conclure. Or,
par hypothèse, on a lim UP = L, donc Ve> 0, 3po EN tel que si p ~Po, on a
p-++oo
- -
llXP - Lll2 ~ c, c'est-à-dire d2(XP - L) ~ é. d'après le calcul préliminaire, on
peut donc en déduire ce qu'on veut, à savoir que lup - RI ~ c
La suite ( up)pEN est donc bien convergente vers f.
Exercice 1.10. 1. On doit montrer que pour tout point X de U, il existe une
boule centrée en X qui est incluse dans U.
Soit donc XE U. X n'est donc pas nul, et on a donc r = llXll -=/:-O. (Il· Il désigne
n'importe quelle norme). Nous allons établir que la boule ouverte B(X, r), de
centre X, de rayon r est entièrement incluse dans U. Pour cela, il suffit de montrer
que tous les éléments Y de B(X, r) sont non nuls.
Soit Y E B(X, r). La deuxième inégalité triangulaire nous donne
llXll - llY -XII~ lllXll - llY -XIII~ llX +(Y -X)ll = llYll·
On a donc llYll ~ llXll - llY - XII = r - llY - x11.
Mais, puisque Y est dans la boule ouverte de centre X, de rayon r, on a par
définition de cette boule :
d(Y,X) = llY-Xll < r
D'où r - llY - XII > 0 et llYll > 0, donc llYll -=/:- 0 et on peut conclure que Y n'est
pas le vecteur nul et qu'il appartient donc à U.
Remarquons que cette démonstration est valable sans changement dans ]Rn, quel
que soit n; elle est d'ailleurs valable à quelques détails près dans n'importe quel
espace métrique : le complémentaire d'un point est toujours un ouvert.
2. Considérons maintenant une suite convergente (XP)pEN d'éléments qui sont
tous dans le complémentaire de U. Le complémentaire de U est {O}. Les termes de
la suite (XP) sont donc tous nuls. On a Vp EN, XP = 0, et cette suite constante
a donc forcément comme limite O. La limite de cette suite convergente est bien
dans le complémentaire de U: {O} est un fermé et U est bien un ouvert.
Exercice 1.11.
1. a) Le complémentaire de l'axe des abscisses U est formé des couples (x, y) avec
y-=/:- O. Montrons que c'est un ouvert. Pour cela, on doit établir que pour tout