1. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LA TOPOLOGIE DANS ]Rn
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Le membre de droite se développe ainsi :
Pour montrer que A~ B, il suffit d'établir que :
6xx 1 yy 1 ~ 3x 2 y' 2 + 3x' 2 y 2 ~ 3(xy' - x'y) 2 ~O.
Cette dernière inégalité étant toujours vraie, l'inégalité triangulaire est établie.
2. On va montrer l'existence de deux constantes a et /3 strictement positives telles
que pour tout X E JR 2 , on ait
aN(X) ~ llXll2 ~ f3N(X)
x2 +y2
Pour tout X= (x, y) E JR 2 , on a xy ~
2
(puisque (x - y) 2 ~ 0). Donc
On a donc trouvé une valeur de /3 qui convient : /3 = ~ ·
D'autre part, en reprenant le calcul fait pour montrer que N(X) existe toujours,
on a:
N(X)= x2+(x+y)2+y2 >-Jx2+y2 =-1 / 2
2=_!._llXll
2
""
2
y12vx +y
y12
2.
1
d
.
.
1
et une va eur e a qm convient est a = ./2 ·
(Il est possible de trouver d'autres valeurs de a,/3 qui conviennent, mais cellesci sont les plus « sévères » : en effet, il est possible de trouver des X tels que
N(X) = allXll2 : il suffit que x +y soit nul; de même, pour trouver un X tel que
2
2
N(X) = /3llXll2, il suffit de le choisir tel que xy = x ; y , c'est-à-dire tel que
x-y=O.)
3. La représentation graphique doit être faite dans un repère orthonormé.
Ê(O, 1) est l'intérieur de la courbe d'équation x 2 + xy + y 2 = 1. Pour s'en
convaincre, on résout l'inéquation x 2 + xy + y 2 ~ 1 en considérant x comme
paramètre et y comme inconnue. Le discriminant de l'équation associée est D. =
x 2 - 4(x 2 - 1) = 4 - 3x 2 donc
[ 2 2 J
.
.
[-x - v'4 - 3x 2 -x + v'4 - 3x 2 ]
pour x E - J3, J3 , on d01t avoir y E
2
,
2
·
On trace donc point par point ou à la calculatrice les courbes des deux fonctions