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v+r- -
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SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 1.8. 1. Tout d'abord, on peut vérifier que N est bien définie pour tout
x2 + (x + y)2 + y2
X E JR 2 . C'est le cas puisque x 2 + xy + y 2 =
2
~ 0, donc on peut
toujours calculer la racine carrée. Il est clair que N(X) ~ 0 pour tout X. D'autre
part le calcul précédent montre que si N(X) = 0, alors x 2 + (x + y) 2 + y 2 = 0, et
une somme de nombres positifs ne peut être nulle que si tous les nombres sont
nuls donc x =y= 0 et X= (0,0).
On a pour tout >. E lR :
N(>.X) = N(>.x, >.y)= V(>.x)2 + (>.x)(>.y) + (>.y)2
= J >,2(x2 + xy + y2) = ..J>J.J x2 + xy + y2 = i>.IN(X).
C'est l'inégalité triangulaire qui est la plus compliquée.
Soient X= (x,y) et X'= (x',y') E JR 2 .
On doit montrer que N(X +X') ~ N(X) + N(X').
Cette inégalité est successivement équivalente à :
N(x + x',y +y')~ Jx 2 + xy + y2 + Jx 1 2 + x'y' + y 1 2;
(x + x') 2 + (x + x')(y +y')+ (y+ y 1 ) 2 ~ ( J x2 + xy + y2 + J x 1 2 + x'y' + y 1 2)
2
;
x 2 + 2xx' + x' 2 + xy + xy' + x'y + x'y' + y 2 + 2yy' + y' 2
~ x 2 + xy + y 2 + x' 2 + x'y' + y' 2 + 2J(x 2 + xy + y2)(x'2 + x'y' + y' 2 );
2xx' + xy' + x'y + 2yy 1 ~ 2J(x2 + xy + y2)(x'2 + x'y' + y 1 2).
Si le membre de gauche est négatif, c'est toujours vrai, sinon c'est équivalent à:
(2xx' + xy' + x'y + 2yy') 2 ~ 4(x 2 + xy + y 2 )(x' 2 + x'y' + y' 2 )
Le membre de gauche se développe ainsi :
A = 4x 2 x' 2 +x 2 y' 2 +x' 2 y 2 +4y 2 y' 2 +4x 2 x' y' +4xyx' 2 +8xx' yy' +2xx' yy' +4xyy 12 +4y 2 x' y'.