1. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LA TOPOLOGIE DANS !Rn
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De même, on obtient grâce à (d3) :
d(y, z) :::;; d(y, x) + d(x, z) = d(x, y)+ d(x, z)
(toujours d'après (d2)).
On en déduit que d(y, z) - d(x, y) :::;; d(x, z).
On a donc
max(d(x,y) -d(y,z),d(y,z)-d(x,y)):::;; d(x,z), c'est-à-dire
Jd(x,y) -d(y,z)J:::;; d(x,z)
Exercice 1.7. La boule fermée de centre Xo = (xo,Yo), de rayon r, dont il faut
justifier la représentation de la figure (1.3), est caractérisée par
X= (x,y) E B1(Xo,r) {:::=} llX -Xolh:::;; r {:::=} Jx-xol + IY-Yol:::;; r.
Pour résoudre ce type d'inéquation, une des méthodes consiste à « enlever les
valeurs absolues » en étudiant les différents cas possibles.
Les quatre possibilités correspondent aux quatre régions du plan limitées par la
droite horizontale et la droite verticale qui passent par Xo.
Ce sont les cas suivants :
a) x ~ xo et y~ Yo (en haut à droite);
c) x:::;; xo et y~ Yo (en haut à gauche);
b) x ~ xo et y:::;; Yo (en bas à droite);
d) x:::;; xo et y:::;; Yo (en bas à gauche).
Dans chacun de ces cas, on trouvera comme solution de l'inéquation un demiplan, qui contient (xo, Yo) (puisque ce couple est solution de l'inéquation, et qu'il
appartient aux quatre zones), mais dont on ne gardera que la partie dans la zone
concernée par le cas. La droite qui limite le demi-plan solution aura pour équation
ce qu'on obtient en remplaçant :::;; par =. Selon le cas, l'inéquation devient :
a) x-xo+y-yo :::;; r: la frontière du demi-plan est la droite D1 : x+y-xo-yo-r =
0, elle passe par les points A= (xo + r, Yo) et B = (xo, Yo + r).
b) x-xo-Y+Yo :::;; r: la frontière du demi-plan est la droite D2 : x-y-xo+yo-r =
0, elle passe par les points A= (xo + r, Yo) et B' = (xo, Yo - r).
c) -x + xo +y - Yo:::;; r : la frontière du demi-plan est la droite D3 : -x +y+
xo - Yo - r = 0, elle passe par les points A' = (xo - r, yo) et B = (xo, yo + r ).
d) -x + xo - y + Yo :::;; r : la frontière du demi-plan est la droite D4 : x +y -
xo - Yo + r = 0, elle passe par les points A'= (xo - r, Yo) et B' = (xo, Yo - r).
Reportant toutes ces données sur une figure, (voir page suivante), on trouve le
résultat représenté sur la figure (1.3), p. 12.
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De même, on obtient grâce à (d3) :
d(y, z) :::;; d(y, x) + d(x, z) = d(x, y)+ d(x, z)
(toujours d'après (d2)).
On en déduit que d(y, z) - d(x, y) :::;; d(x, z).
On a donc
max(d(x,y) -d(y,z),d(y,z)-d(x,y)):::;; d(x,z), c'est-à-dire
Jd(x,y) -d(y,z)J:::;; d(x,z)
Exercice 1.7. La boule fermée de centre Xo = (xo,Yo), de rayon r, dont il faut
justifier la représentation de la figure (1.3), est caractérisée par
X= (x,y) E B1(Xo,r) {:::=} llX -Xolh:::;; r {:::=} Jx-xol + IY-Yol:::;; r.
Pour résoudre ce type d'inéquation, une des méthodes consiste à « enlever les
valeurs absolues » en étudiant les différents cas possibles.
Les quatre possibilités correspondent aux quatre régions du plan limitées par la
droite horizontale et la droite verticale qui passent par Xo.
Ce sont les cas suivants :
a) x ~ xo et y~ Yo (en haut à droite);
c) x:::;; xo et y~ Yo (en haut à gauche);
b) x ~ xo et y:::;; Yo (en bas à droite);
d) x:::;; xo et y:::;; Yo (en bas à gauche).
Dans chacun de ces cas, on trouvera comme solution de l'inéquation un demiplan, qui contient (xo, Yo) (puisque ce couple est solution de l'inéquation, et qu'il
appartient aux quatre zones), mais dont on ne gardera que la partie dans la zone
concernée par le cas. La droite qui limite le demi-plan solution aura pour équation
ce qu'on obtient en remplaçant :::;; par =. Selon le cas, l'inéquation devient :
a) x-xo+y-yo :::;; r: la frontière du demi-plan est la droite D1 : x+y-xo-yo-r =
0, elle passe par les points A= (xo + r, Yo) et B = (xo, Yo + r).
b) x-xo-Y+Yo :::;; r: la frontière du demi-plan est la droite D2 : x-y-xo+yo-r =
0, elle passe par les points A= (xo + r, Yo) et B' = (xo, Yo - r).
c) -x + xo +y - Yo:::;; r : la frontière du demi-plan est la droite D3 : -x +y+
xo - Yo - r = 0, elle passe par les points A' = (xo - r, yo) et B = (xo, yo + r ).
d) -x + xo - y + Yo :::;; r : la frontière du demi-plan est la droite D4 : x +y -
xo - Yo + r = 0, elle passe par les points A'= (xo - r, Yo) et B' = (xo, Yo - r).
Reportant toutes ces données sur une figure, (voir page suivante), on trouve le
résultat représenté sur la figure (1.3), p. 12.