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SOLUTIONS DES EXERCICES
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On utilise alors que x 2 = lxl 2 ~ ( max(lxl, IYI)) (et idem avec x' 2 )
N(X +X')~ (max(lxl,IYl)) 2 +2z 2 + (max(lx'l,ly'l)) 2 +2z' 2
N(X +X') ~ N(X) + N(X').
On a établi (iii) dans le cas a).
b) max(lx + x'I, IY + y'I) = IY + y'I; dans ce cas, on raisonne exactement de la
même façon en échangeant le rôle de x et y, x' et y', on obtient le même résultat,
et N est bien une norme.
Pour montrer qu'elle est équivalente aux normes usuelles, on applique les résultats
du théorème 1.9 (p. 7).
On a, pour tout X= (x, y, z) E JR 3 :
N(X) = Vll(x, y)ll~ + 2z 2 ~ Vll(x, y)ll~ + 2z 2 = y'x 2 + y 2 + 2z 2
~ y'2x 2 + 2y 2 + 2z 2 = v'2 N2(X)
donc N(X) ~ .J2N2(X). De même, on a:
N2(X) = y'x2 +y2 + z2 = Vll(x,y)ll~ + z2
~ V2ll(x, Y)lloo + z 2 (car llYll2 ~ v'211Ylloo)
~ V2ll(x, y)lloo + 4z 2 = v'2y'll(x, y)ll~ + 2z 2 = J'2N(X)
On a établi N2(X) ~ .J2N(X) donc ~N2(X) ~ N(X), et on a trouvé deux
constantes strictement positives a= ~ et f3 = .J2 telles que
N et N2 sont donc deux normes équivalentes.
3. N n'est ici pas une norme, car N(X) = 0-=/===? X= 0 ((i)' n'est pas vérifié). En
effet, il suffit de considérer le vecteur X= (-2, 1, 0) qui est bien sûr non nul et
qui est tel que N(X) = O.
Exercice 1.6. d étant la distance de l'espace métrique E, on a d'après la première
inégalité triangulaire (d3), pour tous x, y, z E E,
d(x, y) ~ d(x, z) + d(z, y) = d(x, z) + d(y, z)
(d'après ( d2)).
On en déduit que d(x, y) - d(y, z) ~ d(x, z).