1. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LA TOPOLOGIE DANS !Rn
De même, on a
Ni(X) = lxl + IYI + lzl = ll(x, y)lli + lzl
~ (v'2ll(x,y)ll2) + lzl = v'2 Jx 2 + y 2 + lzl
~ v'2( Jx2 + y2 + lzl) = v'2 N(X)
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On a établi Ni (X) ~ J2 N (X) donc on a trouvé deux constantes strictement
positives a = 1 et f3 = J2 telles que
aN(X) ~ Ni (X) ~ f3N(X).
N et Ni sont donc deux normes équivalentes.
2. Il est clair que N est bien à valeurs dans ~+. On cherche donc à appliquer la
proposition 1.2 (p. 3).
Soit X = (x, y, z) E ~ 3 on suppose que N(X) = O. On a donc (N(X)) 2 = 0,
2
2
d'où ( max(lxl, IYI)) + 2z 2 = 0 et donc ( max(lxl, IYI)) = 0 et 2z 2 = 0 (somme
nulle de nombres positifs). On en déduit que max(lxl, IYI) = 0, donc finalement
X= y= Z = 0 et Oll a vérifié (i)'.
Pour tout>. E ~et tout X= (x,y,z) E ~ 3 , on a clairement
N(>.X) = N(>.x, >.y, >.z) = [max(l>.xl, i>.yl) J2 + 2(>.z) 2
2
~~~~~2~~
[1>-1 max(lxl, IYI)] + 2>. 2 z 2 = l>-1 [max(lxl, IYD] + 2z 2 = l>-IN(X).
On a vérifié (ii).
Pour tous X= (x, y, z) et X'= (x', y', z') de ~ 3 , on a:
N(X +X')= N(x + x', y+ y', z + z') =V ( max(lx + x'I, IY + y'I) ) 2 + 2(z + z') 2
On a deux cas à étudier :
a) max(lx + x'I, IY + y'I) =lx+ x'I· Dans ce cas, on a
N(X +X')= Jix + x'l 2 + 2(z + z') 2 = V(x + x')2 + (v'2z + v'2z')2
Comme dans 1), on utilise l'inégalité triangulaire de la norme euclidienne dans
~2 :
V(a + c) 2 + (b + d) 2 ~ v'a 2 + b2 + Jc2 + d2.
On l'applique avec ici a= x, c = x', b = J2z et d = V'iz'; nous obtenons :
N(X +X')~ v'x 2 + 2z 2 + Jx 1 2 + 2z'2.