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SOLUTIONS DES EXERCICES
Toutes les inégalités du théorème 1.9 ont été établies et on a montré qu'aucune
ne pouvait être améliorée.
Exercice 1.5. Pour s'y retrouver, on notera li· 111, li· 112 et 11 · lloo respectivement
la norme somme, la norme euclidienne et la norme du max de ~ 2 , alors que N 1 ,
N2, N00 désigneront les normes correspondantes de ~ 3 .
1. Il est clair que N est bien à valeurs dans ~+. On va donc chercher à appliquer
la proposition 1.2 (p. 3).
Soit X= (x, y, z) E ~ 3 on suppose que N(X) =O. On a donc Jx 2 + y 2 + lzl = O
donc Jx 2 + y 2 = 0 et lzl = 0 (somme nulle de nombres positifs). On en déduit
que x 2 + y 2 = 0, donc x =y= z = 0 et on a vérifié (i)'.
Pour tout À E ~et tout X= (x,y,z) E ~ 3 , on a clairement:
On a vérifié (ii).
Pour tous X= (x,y,z) et X'= (x',y',z') de ~ 3 , on a:
N(X +X')= N(x + x',y + y',z + z') = V(x + x')2 +(y+ y')2 + lz + z'I·
Or, l'inégalité Il (a, b) + ( c, d) 112 ~ Il (a, b) 112 +Il ( c, d) 112 qui est l'inégalité triangulaire
pour la norme euclidienne dans ~ 2 peut s'écrire
Appliquant ce résultat à l'expression de N(X +X'), (et aussi lz + z'I ~ lzl + lz'I),
on obtient
N(X +X')~ ( .Jx2 + y2 + vx'2 + y'2) + lzl + lz'I
~ ( Vx 2 + y 2 + lzl) + ( Vx' 2 + y' 2 + lz'I) = N(X) + N(X').
On a établi (iii) et N est bien une norme.
Pour montrer qu'elle est équivalente aux normes usuelles, on applique les résultats
du théorème 1.9 (p. 7).
On a, pour tout X= (x, y, z) E ~3
N(X) = ll(x,y)ll2 + lzl ~ ll(x,y)lli + lzl = lxl + IYI + lzl = Ni(X)
donc N(X) ~ Ni(X).