1. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR LA TOPOLOGIE DANS Rn
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b) Pour comparer N2(X) et Ni(X), on compare leurs carrés.
n
n
Or, (N2(X)) 2 = L:xr = L lxil 2 alors que lorsqu'on développe (N1(X)) 2 , on
i=l
i=l
obtient non seulement tous les carrés lxil 2 , mais aussi des double produits 2lxil lxkl
qui sont positifs. Plus précisément, on a
n
n
(N1(X)) 2 = L lxil 2 + 2 L lxil lxkl ~ L lxil 2 = (N2(X)) 2 .
i=l
i=l
On a bien N2(X) ~ Ni(X). Cette inégalité ne peut pas être améliorée, car on a
aussi, pour X= ei, N2(e1) = 1 = Ni(e1).
c) On a pour tout indice i, lxil ~ lxil, puisque lxil = Noo(X) = m~x lxil; donc:
l~i~n
n
Ni(X) = L lxil ~ nlxil = nNoo(X).
i=l
On a obtenu Ni(X) ~ nN00 (X). Cette inégalité ne peut pas être améliorée, car
n
pour W = (1, ... , 1) = Lei, on a Ni(W) =net N00 (W) = 1, de sorte que
i=l
Ni(W) = nN00 (W).
d) On a N2(X) = -Jxr+···+x~ ~ -jx]+···+x] = p = Jrïlxil =
JrïN00 • On a montré que N2(X) ~ JrïN00 (X) et cette inégalité ne peut pas être
améliorée puisque pour W = (1, ... , 1), on a N2(W) =vin= vfn· l = vfnNoo(W).
e) Pour établir l'inégalité suivante, on utilise le résultat classique
a2 + b2
ab ~
2
~ 2ab ~ a 2 + b 2 ~ (a - b ) 2 ~ O.
Lorsqu'on calcule le carré de N1 (X), on peut majorer tous les doubles produits
en utilisant ce résultat : on obtient
n
n
(N1(X)) 2 = L lxil 2 + 2 L lxil lxkl ~ L lxil 2 +
i=l
l~i i=l
l~i En dénombrant attentivement les termes de la dernière somme, on constate que
chaque terme lxd 2 apparaît exactement n - 1 fois et puisqu'il apparaît aussi une
fois dans la première somme, on obtient
n
n
(N1(X)) 2 ~Ln lxil 2 = n L lxil 2 = n(N2(X)) 2 .
i=l
i=l
D'où le résultat Ni(X) ~ JrïN2(X) qui ne peut pas être amélioré, comme on
le constate en utilisant encore W = (1, ... , 1) qui est tel que Ni(W) = n et
N2(W) = Jrï.