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SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 1.3. On notera ,...., la relation « est équivalente à » entre normes sur
E. Plus précisément, si Net f.i sont deux normes sur E, écrire qu'on a N"' N
signifie qu'il existe deux constantes strictement positives C1 et C2 telles que pour
tout X E E, on a C1N(X) ~ N(X) ~ C2N(X).
Montrons que ,...., est réflexive, symétrique et transitive.
Pour toute norme N sur E, il est clair qu'il existe deux constantes C1 = C2 = 1
'
strictement positives telles que pour tout X E E, on a C1N(X) ~ N(X) ~
C2N(X), puisque cela s'écrit trivialement N(X) ~ N(X) ~ N(X). On a donc
bien N ,...., N pour toute norme N donc ,...., est bien réflexive.
Soient Net f.i deux normes sur E telles que N,...., f.i.
Il existe donc deux constantes strictement positives C1 et C2 telles que pour tout
X E E, on a C1N(X) ~ N(X) ~ C2N(X).
~
1 ~
On a donc C1N(X) ~ N(X), donc N(X) ~ Ci N(X).
~
1 ~
De même, on a N(X) ~ C2N(X), donc 02 N(X) ~ N(X).
Donc en mettant bout à bout ces deux inégalités, on obtient qu'il existe deux
constantes strictement positives a= J 2 et (3 = J 1 telles que pour tout X E E,
on a
aN(X) ~ N(X) ~ (3N(X), ce qui signifie exactement que f.i,...., N.
On a établi que [ N , . . . . , f.i ==> f.i ,...., N] , donc ,...., est bien une relation symétrique.
Soient N, f.i et N trois normes sur E telles que N ,...., f.i et f.i ,...., N. Il existe donc
quatre constantes strictement positives C1, C2, Ca et C4 telles que pour tout
X E E, on a C1N(X) ~ N(X) ~ C2N(X) et on a CaN(X) ~ N(X) ~ C4N(X).
C1N(X) ~ N(X), donc C1C3N(X) ~ C3N(X) et puisque C3N(X) ~ N(X), on
en déduit que C1C3N(X) ~ N(X).
De même, N(X) ~ C2N(X), donc C4N(X) ~ C4C2N(X) et puisque N(X) ~
C4N(X), on obtient N(X) ~ C4C2N(X).
En mettant bout à bout ces deux inégalités, on obtient qu'il existe deux constantes
strictement positives a = C1 C3 et (3 = C2C4 telles que pour tout X E E, on a
aN(X) ~ N(X) ~ (3N(X), ce qui signifie exactement que N,...., N.
On a établi que ~ : î } ==> N ,...., N, donc ,...., est bien une relation transitive.
,...., est bien une relation d'équivalence.
Exercice 1.4. Soit X = ( x1, ... , Xn) E ffi.n et soit j un des indices entre 1 et n
tels que llXlloo = lxil·
a) On a Noo(X) = lxjl = /71 ~ vx~ + ... +X~ = N2(X), ce qui établit la
première inégalité. Elle ne peut pas être améliorée, car pour e1 = (1, 0, ... , 0) (voir
p. 2), on a clairement N00 (e1) = 1=,/1 2 +0 2 + · · · + 0 2 = N2(e1).
SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 1.3. On notera ,...., la relation « est équivalente à » entre normes sur
E. Plus précisément, si Net f.i sont deux normes sur E, écrire qu'on a N"' N
signifie qu'il existe deux constantes strictement positives C1 et C2 telles que pour
tout X E E, on a C1N(X) ~ N(X) ~ C2N(X).
Montrons que ,...., est réflexive, symétrique et transitive.
Pour toute norme N sur E, il est clair qu'il existe deux constantes C1 = C2 = 1
'
strictement positives telles que pour tout X E E, on a C1N(X) ~ N(X) ~
C2N(X), puisque cela s'écrit trivialement N(X) ~ N(X) ~ N(X). On a donc
bien N ,...., N pour toute norme N donc ,...., est bien réflexive.
Soient Net f.i deux normes sur E telles que N,...., f.i.
Il existe donc deux constantes strictement positives C1 et C2 telles que pour tout
X E E, on a C1N(X) ~ N(X) ~ C2N(X).
~
1 ~
On a donc C1N(X) ~ N(X), donc N(X) ~ Ci N(X).
~
1 ~
De même, on a N(X) ~ C2N(X), donc 02 N(X) ~ N(X).
Donc en mettant bout à bout ces deux inégalités, on obtient qu'il existe deux
constantes strictement positives a= J 2 et (3 = J 1 telles que pour tout X E E,
on a
aN(X) ~ N(X) ~ (3N(X), ce qui signifie exactement que f.i,...., N.
On a établi que [ N , . . . . , f.i ==> f.i ,...., N] , donc ,...., est bien une relation symétrique.
Soient N, f.i et N trois normes sur E telles que N ,...., f.i et f.i ,...., N. Il existe donc
quatre constantes strictement positives C1, C2, Ca et C4 telles que pour tout
X E E, on a C1N(X) ~ N(X) ~ C2N(X) et on a CaN(X) ~ N(X) ~ C4N(X).
C1N(X) ~ N(X), donc C1C3N(X) ~ C3N(X) et puisque C3N(X) ~ N(X), on
en déduit que C1C3N(X) ~ N(X).
De même, N(X) ~ C2N(X), donc C4N(X) ~ C4C2N(X) et puisque N(X) ~
C4N(X), on obtient N(X) ~ C4C2N(X).
En mettant bout à bout ces deux inégalités, on obtient qu'il existe deux constantes
strictement positives a = C1 C3 et (3 = C2C4 telles que pour tout X E E, on a
aN(X) ~ N(X) ~ (3N(X), ce qui signifie exactement que N,...., N.
On a établi que ~ : î } ==> N ,...., N, donc ,...., est bien une relation transitive.
,...., est bien une relation d'équivalence.
Exercice 1.4. Soit X = ( x1, ... , Xn) E ffi.n et soit j un des indices entre 1 et n
tels que llXlloo = lxil·
a) On a Noo(X) = lxjl = /71 ~ vx~ + ... +X~ = N2(X), ce qui établit la
première inégalité. Elle ne peut pas être améliorée, car pour e1 = (1, 0, ... , 0) (voir
p. 2), on a clairement N00 (e1) = 1=,/1 2 +0 2 + · · · + 0 2 = N2(e1).