Solutions des exercices
CHAPITRE 1
1. Solutions des exercices sur la topologie dans JR.n
Exercice 1.1. On a X= (X - Y)+ Y donc N(X) ::::; N(X - Y)+ N(Y) et
N(X) - N(Y) ::::; N(X - Y).
De même, en échangeant le rôle de X et Y, on obtient Y = (Y - X) + X donc
N(Y) ::::; N(Y - X) + N(X) et N(Y) - N(X) ::::; N(Y - X) = N(X - Y)
On a donc IN(X) - N(Y)I =max( (N(X) - N(Y), N(Y) - N(X)) ::::; N(X - Y).
n
Exercice 1.2. Il est clair que pour tout XE JRn, on a Ni(X) = L lxil ~ 0,
i=i
donc Ni est bien une application de ]Rn à valeurs dans JR+.
n
Si on a Ni(X) = 0, alors on a L lxil = 0, mais une somme de nombres tous
i=i
positifs ou nuls ne peut être nulle que si tous ces nombres sont en fait nuls, donc
on a Vi E {1, ... , n}, lxil = 0 donc Xi= O. Cela signifie justement que le vecteur
X est nul et on a bien vérifié (i)'.
Soit À E lR et XE JRn, alors on a ÀX = (Àxi, ... , Àxn), de sorte que
n
n
n
Ni(ÀX) = L jÀxil = L IÀI lxil = IÀI L lxil = IÀINi(X)j.
i=i
i=i
i=i
et (ii) est bien vérifiée.
Pour tout X, Y E JRn, on a X+ Y= (xi+ yi, ... , Xn + Yn) de sorte que
n
n
n
n
Ni(X +Y)= L lxi +Yil::::; 'L:(lxil + IYil) = L lxil + L IYil = Ni(X) +Ni(Y),
i=i
i=i
i=i
i=i
et (iii) est bien vérifiée. D'après la proposition 1.2 (p. 3) Ni est bien une norme.