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INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
Il serait assez compliqué de calculer directement cette intégrale triple, et il est
astucieux de faire un changement de variable pour se ramener à un domaine plus
simple, la boule unité. Pour cela, il suffit de poser X = ~ ; Y = ' ! ! _b ; Z = !:. . Le
a
c
changement de variable correspondant est l'application (aX, bY, cZ) et on a clairement D = de ~ 3 caractérisé par X 2 + Y 2 + Z 2 :::;; 1, X ~ 0, Y ~ 0, Z ~ O.
Ensuite, l'intégrale obtenue peut alors facilement se calculer en utilisant les
coordonnées sphériques : les variables deviennent séparables.
Exercice 5.28 Voici à quoi ressemblent les différentes zones :
z
Sur ce dessin, on a choisi, pour ne pas surcharger de prendre a 2 = ~.
Une terminologie «géographique» peut aider à comprendre les termes employés:
Les lignes()= ai sont des parallèles (() = a2 est l'équateur!)
Les lignes cp = f3i sont des méridiens.
Un fuseau est une zone comprise entre deux méridiens (cf « fuseau horaire »)
Une calotte est une zone située au-dessus d'un parallèle (cf « calotte polaire »)
Une couronne est une zone située entre deux parallèles.
Une maille sphérique est l'intersection d'un fuseau et d'une couronne (zone
hachurée sur le dessin).
Les coordonnées sphériques fournissent évidemment la paramétrisation à utiliser.
à chaque fois seul le domaine D d'intégration (donné par l'énoncé) change.
On doit calculer A= Jl H d() dcp, avec H déjà calculé dans le cas d'une sphère
de rayon 1 : H =sin() (voir cours p. 241).