INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
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Exercice 5.26
z
y
X
x=y
Le domaine était ici assez difficile à se représenter. Si les deux conditions y~ 0,
z ~ 0 et x + z ~ 1 sont faciles à interpréter, la condition y 2 ~ x est un peu
plus compliquée : dans le plan xOy (z = 0), la zone considérée est limitée par la
parabole y 2 = x, et avec une orientation classique, c'est la partie du plan à droite
de cette parabole, l' « intérieur ». Dans l'espace, la frontière y 2 = x caractérise
donc l'ensemble des points qui se projettent verticalement sur la parabole y 2 = x
dans le plan z = 0, c'est ce qu'on appelle une nappe cylindrique de direction l'axe
Oz, s'appuyant sur la parabole y 2 = x. L'ensemble des points de l'espace tels que
y 2 ~ x est donc l' « intérieur » de cette nappe cylindrique.
La démarche la plus naturelle consiste à privilégier (x, y) qui décrit la partie B
du plan xOy caractérisée par { 2 ~ ~ ~ 1 Pour chaque (x, y) fixé, on a alors
y ""::X"":: •
z qui varie entre 0 et 1 - x et l'intégrale se calcule facilement.
2
2
2
Exercice 5.27 L'équation x 2 + yb 2 + z 2 = 1 caractérise un ellipsoïde centré à
a
c
l'origine, a, b et c étant les longueurs des « demi-axes ».
Les sections avec les plans de coordonnées sont des ellipses.
D est donc le huitième de cet ellipsoïde compris dans la partie de l'espace où
toutes les coordonnées sont positives