INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
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Exercice 5.19
K est le triangle OAB de l'exercice 5.3 : voir la figure p. 277.
Pour paramétrer [)K+, on découpe en trois morceaux, en posant [)K+ = 'Yl V
1 2 V '/'3 avec ')'1 qui est le segment [OAJ orienté de gauche à droite, ')'2 qui est le
segment [AB] orienté de A vers B, c'est-à-dire de droite à gauche et '/'3 qui est le
segment [BO] orienté de haut en bas. On utilisera aussi les arcs )'2 et )'3 inverses
respectivement de ')'2 et 'Y3 et plus faciles à paramétrer.
Avec Green-Riemann, aucune difficulté si on prend le temps de bien préciser la
forme différentielle w = P dx + Q dy que l'on intègre le long de [)K+. L'intégrale
double sur K est très simple et les bornes d'intégration sont les mêmes que dans
l'exercice V.3.
Exercice 5.20
D est le domaine de l'exercice 5.15 (voir figure p. 281).
Directement : on procède comme pour l'exercice 5.15 : on ne se lancera plus
dans un passage en polaires.
Avec Green-Riemann:
Il i:
d'" ' · ' ·
'
f(
)
xy
i:
[)Q [)p
iaut eJa reussir a mterpreter x, y = (l + x 2 + y 2 ) 2 sous une iorme ox - [)y.
Il s'agit donc de trouver des fonctions P et Q (des deux variables x, y) solutions
de ~~ - ~: = f(x, y). Une solution « évidente» est fournie par le calcul direct
que l'on vient de faire : on remarque que
X
P(x, y) = 2 ( 1 + x 2 + y 2 ) est telle que
[)P
- [)y (x, y) = f(x, y).
Il suffit donc de prendre Q = 0 et cette fonction P (il y a d'autres solutions).
Le contour de D se décompose en trois sous-arcs classiques. Attention, l'arc de
cercle est parcouru dans le sens indirect.
Exercice 5.21
Cet exercice se traite un peu comme l'exemple 1 du cours p. 233.
Puisque x 2 + y 2 + z 2 = r 2 caractérise la sphère centrée à l'origine de rayon a,
D est ici clairement le domaine de l'espace compris entre la sphère de rayon 1
et celle de rayon J2 (toutes deux étant centrées à l'origine), la condition z;;::: 0
précisant qu'on n'en garde que la moitié supérieure.
La forme du domaine impose le choix des coordonnées sphériques : p varie entre 1
et v'2, cp décrit un intervalle de largeur 27!" et (} reste entre 0 et ~, pour ne garder
que des points de cote positive.
On obtient des variables séparables.
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Exercice 5.19
K est le triangle OAB de l'exercice 5.3 : voir la figure p. 277.
Pour paramétrer [)K+, on découpe en trois morceaux, en posant [)K+ = 'Yl V
1 2 V '/'3 avec ')'1 qui est le segment [OAJ orienté de gauche à droite, ')'2 qui est le
segment [AB] orienté de A vers B, c'est-à-dire de droite à gauche et '/'3 qui est le
segment [BO] orienté de haut en bas. On utilisera aussi les arcs )'2 et )'3 inverses
respectivement de ')'2 et 'Y3 et plus faciles à paramétrer.
Avec Green-Riemann, aucune difficulté si on prend le temps de bien préciser la
forme différentielle w = P dx + Q dy que l'on intègre le long de [)K+. L'intégrale
double sur K est très simple et les bornes d'intégration sont les mêmes que dans
l'exercice V.3.
Exercice 5.20
D est le domaine de l'exercice 5.15 (voir figure p. 281).
Directement : on procède comme pour l'exercice 5.15 : on ne se lancera plus
dans un passage en polaires.
Avec Green-Riemann:
Il i:
d'" ' · ' ·
'
f(
)
xy
i:
[)Q [)p
iaut eJa reussir a mterpreter x, y = (l + x 2 + y 2 ) 2 sous une iorme ox - [)y.
Il s'agit donc de trouver des fonctions P et Q (des deux variables x, y) solutions
de ~~ - ~: = f(x, y). Une solution « évidente» est fournie par le calcul direct
que l'on vient de faire : on remarque que
X
P(x, y) = 2 ( 1 + x 2 + y 2 ) est telle que
[)P
- [)y (x, y) = f(x, y).
Il suffit donc de prendre Q = 0 et cette fonction P (il y a d'autres solutions).
Le contour de D se décompose en trois sous-arcs classiques. Attention, l'arc de
cercle est parcouru dans le sens indirect.
Exercice 5.21
Cet exercice se traite un peu comme l'exemple 1 du cours p. 233.
Puisque x 2 + y 2 + z 2 = r 2 caractérise la sphère centrée à l'origine de rayon a,
D est ici clairement le domaine de l'espace compris entre la sphère de rayon 1
et celle de rayon J2 (toutes deux étant centrées à l'origine), la condition z;;::: 0
précisant qu'on n'en garde que la moitié supérieure.
La forme du domaine impose le choix des coordonnées sphériques : p varie entre 1
et v'2, cp décrit un intervalle de largeur 27!" et (} reste entre 0 et ~, pour ne garder
que des points de cote positive.
On obtient des variables séparables.