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INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
Exercice 5.16
D est ici l'ensemble des points d'ordonnée positive qui appartiennent au disque
de centre (!,O), de rayon!, tout en étant en dehors du disque de centre (0, !), de
rayon ! . Remarquons que ces deux disques ont leur cercle frontière qui passe par
l'origine.
Ce n'est pas une évidence, mais il vaut mieux passer en polaires : en observant la
figure, on remarque que les points de D sont tous tels que 0 ~ (} ~ î ; ensuite, on
traduit en polaires les équ~tions des deux frontières.
x 2 +y 2 -y = O ~ r 2 -rsin(} = 0 ~ r =sin(}; x 2 +y 2 -x = 0 ~ r =cos(}
On en déduit facilement la caractérisation de Den polaires.
Exercice 5.17
(figure dans le cas a= 2, b = 1).
Cette intégrale peut se calculer directement; D est un quart de l'intérieur de
{
O~x~a
l'ellipse de demi-axes a et b. On peut le caractériser ainsi
n 2
O~y~b l - 2
a
Il est intéressant d'essayer d'utiliser un changement de variable «presque» polaire:
On peut poser x = apcos(} et y = bpsin(}, de sorte que le Jacobien de ce
changement de coordonnées est facile à calculer.
Exercice 5.18
On intègre ici une forme différentielle w = P dx + Q dy avec P = -y 3 et Q = x 3 ·
Le calcul direct ne pose aucune difficulté, et en utilisant Green-Riemann, il sera
bien sûr utile de passer en polaires.