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INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
La forme du domaine D (une couronne centrée en l'origine) suggère bien évidemment un passage en polaires. Un calcul direct serait une performance gratuite
extrêmement difficile à réaliser. La simple caractérisation de D sous une forme
permettant d'intégrer est déjà fort difficile à réaliser.
En polaires, en revanche, D est simplement caractérisé par 2 ~ r 2 ~ 4, c'est-à-dire
v'2 ~ r ~ 2 avec e dans un intervalle de largeur 27r pour pouvoir faire un tour
complet.
Exercice 5.13 En écrivant x 2 +y 2 -2x ~ 0 {::::::::} (x-1) 2 +y 2 ~ 1, on s'aperçoit
que D est à l'intérieur du disque de centre A(l, 0) et de rayon 1. La condition
supplémentaire x ~ 1 signifie qu'on ne prend dans ce disque que les points à droite
du diamètre vertical.
x=l
-1
La frontière du disque est caractérisée par x 2 + y 2 - 2x = 0 {::::::::} y= ±v'2x - x2.
En procédant ainsi, on risque de buter sur une primitive un peu compliquée à
calculer, aussi est-il plus simple de passer en polaires.
Pour ce calcul, il est indispensable de privilégier e, et ensuite de caractériser en
polaires les frontières de Ce domaine : X = 1 {::::::::} r COS e = 1 {::::::::} r = __!__e
cos
et x 2 + y 2 - 2x = O {::::::::} r 2 - 2r cos e = O ... On obtient ainsi les bornes de
l'intégrale en r.
On a alors besoin de trouver une primitive de cos 4 e qu'on obtient grâce à la
l ' , . .
4 e 3+4cos20+cos4e
meansation cos =
8
·
Exercice 5.14 Il serait très difficile de travailler sans passer en polaires. L'inéquation caractérisant D s'écrit en polaires
r 4 ~ r 2 sin e cos e {::::::::} r ~ y' sin e cos e.
Pour que cette inéquation corresponde à des points du plan, il est nécessaire que
sine case~ 0, donc qu'on soit dans le premier quadrant (x ~ 0 et y~ 0) ou dans
le quadrant symétrique par rapport à l'origine (x ~ 0 et y~ 0). La représentation
de D est celle-ci. D est un lemniscate de Bernoulli.
INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
La forme du domaine D (une couronne centrée en l'origine) suggère bien évidemment un passage en polaires. Un calcul direct serait une performance gratuite
extrêmement difficile à réaliser. La simple caractérisation de D sous une forme
permettant d'intégrer est déjà fort difficile à réaliser.
En polaires, en revanche, D est simplement caractérisé par 2 ~ r 2 ~ 4, c'est-à-dire
v'2 ~ r ~ 2 avec e dans un intervalle de largeur 27r pour pouvoir faire un tour
complet.
Exercice 5.13 En écrivant x 2 +y 2 -2x ~ 0 {::::::::} (x-1) 2 +y 2 ~ 1, on s'aperçoit
que D est à l'intérieur du disque de centre A(l, 0) et de rayon 1. La condition
supplémentaire x ~ 1 signifie qu'on ne prend dans ce disque que les points à droite
du diamètre vertical.
x=l
-1
La frontière du disque est caractérisée par x 2 + y 2 - 2x = 0 {::::::::} y= ±v'2x - x2.
En procédant ainsi, on risque de buter sur une primitive un peu compliquée à
calculer, aussi est-il plus simple de passer en polaires.
Pour ce calcul, il est indispensable de privilégier e, et ensuite de caractériser en
polaires les frontières de Ce domaine : X = 1 {::::::::} r COS e = 1 {::::::::} r = __!__e
cos
et x 2 + y 2 - 2x = O {::::::::} r 2 - 2r cos e = O ... On obtient ainsi les bornes de
l'intégrale en r.
On a alors besoin de trouver une primitive de cos 4 e qu'on obtient grâce à la
l ' , . .
4 e 3+4cos20+cos4e
meansation cos =
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Exercice 5.14 Il serait très difficile de travailler sans passer en polaires. L'inéquation caractérisant D s'écrit en polaires
r 4 ~ r 2 sin e cos e {::::::::} r ~ y' sin e cos e.
Pour que cette inéquation corresponde à des points du plan, il est nécessaire que
sine case~ 0, donc qu'on soit dans le premier quadrant (x ~ 0 et y~ 0) ou dans
le quadrant symétrique par rapport à l'origine (x ~ 0 et y~ 0). La représentation
de D est celle-ci. D est un lemniscate de Bernoulli.