INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
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On terminera en calculant cette intégrale double en privilégiant y.
Exercice 5.9 Une tentative brutale de calcul de cette intégrale n'aboutit pas :
bien que le domaine ait une caractérisation permettant d'écrire directement
1
4
Jmin{2,x}
7rX
1 =
dx
sin - 2 dy,
1
Vx
y
on ne connaît pas de primitive classique d'une fonction t i-----+ sin Ï (ici a= rr 2 x ),
donc on ne peut pas aller plus loin dans cette voie.
La solution consiste à représenter D et ensuite à caractériser Den privilégiant y.
Il est important de bien caractériser les courbes frontières : ici y = x {::::::::} x = y
et y = vfx {::::::::} X = y 2 •
Exercice 5.10 Ici la forme du domaine (un disque centré à l'origine de rayon
a) (dessin pas vraiment indispensable?) et la forme de la fonction (beaucoup de
x 2 + y 2 = r 2 ) sont des indices forts qu'on a tout intérêt à passer en polaires.
En coordonnées polaires, le domaine V est caractérisé par r ~ a, avec e variant
dans un intervalle de largeur 27r pour décrire un tour complet.
Exercice 5.11
Le domaine V est le quart du disque unité
situé dans le premier quadrant du repère :
1
On peut, si on le souhaite, calculer directement cette intégrale double, en privilé•
'T\
, . ,
{
O~x~l
g1ant x et en remarquant que v est caractense par
0 ~ y ~ v'l _ x 2 .
Il est également possible de passer en polaires (c'est peut-être plus naturel) ; une
caractérisation de V en polaires est r ~ 1 avec e E [O, ~].
Les deux calculs sont compliqués.
Exercice 5.12