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INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
Exercice 5.6
x=l
y=x
l
V
1
Pour la même fonction à intégrer que dans l'exercice précédent, les calculs sont ici
plus difficiles, parce que le domaine n'étant pas un rectangle (mais un triangle),
les variables ne peuvent donc pas être séparables. Remarquons que la manière
dont est défini ici V permet de calculer directement cette intégrale double, même
si on n'a pas représenté le domaine. V est ici aussi un triangle.
Exercice 5. 7 Ici encore V est le même triangle qu'à l'exercice 5.3.
Pour pouvoir faire les calculs facilement, il est intéressant de se faire la petite
remarque préliminaire suivante (révision d'analyse élémentaire) : pour c > 0, une
etlnc
et
primitive de la fonction t i----+ et = et ln c est la fonction t i----+ - 1 - = -
1 - .
ne
ne
Exercice 5.8 On ne connaît pas de primitive classique de la fonction t i----+ e-t
2 ,
donc il n'est pas possible de calculer I directement. On va donc se ramener au
calcul d'une intégrale double I = jfv f(x, y) dx dy qu'on essaiera de calculer dans
l'autre sens, c'est-à-dire, grâce à Fubini en privilégiant y.
Le domaine V n'est pas ici précisé par l'énoncé, et on doit le retrouver. Il est
, . ,
{ 0 ~X~ 3
d
d'd .
D
1
. d
caractense par
!!: ~
~ 1 ; on peut one en e mre que
est a partie u
3 ""-y"'plan incluse dans la bande verticale entre les droites x = 0 et x = 3, et qui est
limitée en bas par la droite y= ~ et en haut par la droite horizontale y= 1. On
peut donc représenter D qui est un triangle.