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INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
. 3 22 0
. , A '
G
8 f
H
8 f 0
J:
·1
Exercice .
n a mteret a poser
= ax et = ay . n a 1ac1 ement
une expression de G(x, y) et de H(x, y) en fonction des dérivées partielles de
F = Fo'lj; en (r, 0), sachant que (x, y) = 'lj;(r, 0) = (r cos 0, rsin 0). Ces expressions
permettent de connaître G(r, 0) et H(r, 0) (G et iI sont définies de la même façon
que F).
Mais !lF s'exprime facilement en fonction des dérivées partielles de G et H, et
ces dérivées partielles se calculent en fonction des dérivées partielles de G et iI
-
,
que l'on peut calculer en fonction de celles de F, puisqu'on connaît l'expression
de ces fonctions.
Exercice 3.23 En 1., 3. et 4., on trouve des résultats remarquables, du type
(f g)' = !' g + f g'.
En effet, le gradient, la divergence et le rotationnel sont tous trois des espèces de
dérivations. On doit bien réfléchir pour les produits qui interviennent dans chaque
formule.
Par exemple, pour d), fût(f Û) est une espèce de dérivation du produit f Û. On
trouve donc un résultat du type
(dérivée de J)Û +/(dérivée de Û)
La dérivée de f qui intervient ne peut être que le gradient de f. Le produit de
grad f par Û doit donner un résultat vectoriel, c'est donc un produit vectoriel.
Quant au produit de f par la « dérivée » de Û, il doit donner lui aussi un résultat
vectoriel : forcément on prendra le rotationnel de Û. Finalement, la formule à
établir est donc
fût(JÛ) = gradJ A Û + f;;;;r}
Les démonstrations des formules sont toujours élémentaires.
Pour 2., on applique simplement le résultat établi en 1. pour chaque morceau de
Û ·V, mais ce qu'on obtient n'a rien de très remarquable.
CHAPITRE 4
Indications pour les exercices sur l'intégrale curviligne et la longueur
d'une courbe
Exercice 4.1 Il suffit d'appliquer la proposition 4.14 (p. 172), après avoir défini,
dans chaque cas une fonction Exercice 4.2 Bien paramétrer les arcs, c'est la principale difficulté : après, il
suffit d'appliquer servilement la définition.
Que remarque-t-on? N'aurait-on pas pu procéder autrement?
INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
. 3 22 0
. , A '
G
8 f
H
8 f 0
J:
·1
Exercice .
n a mteret a poser
= ax et = ay . n a 1ac1 ement
une expression de G(x, y) et de H(x, y) en fonction des dérivées partielles de
F = Fo'lj; en (r, 0), sachant que (x, y) = 'lj;(r, 0) = (r cos 0, rsin 0). Ces expressions
permettent de connaître G(r, 0) et H(r, 0) (G et iI sont définies de la même façon
que F).
Mais !lF s'exprime facilement en fonction des dérivées partielles de G et H, et
ces dérivées partielles se calculent en fonction des dérivées partielles de G et iI
-
,
que l'on peut calculer en fonction de celles de F, puisqu'on connaît l'expression
de ces fonctions.
Exercice 3.23 En 1., 3. et 4., on trouve des résultats remarquables, du type
(f g)' = !' g + f g'.
En effet, le gradient, la divergence et le rotationnel sont tous trois des espèces de
dérivations. On doit bien réfléchir pour les produits qui interviennent dans chaque
formule.
Par exemple, pour d), fût(f Û) est une espèce de dérivation du produit f Û. On
trouve donc un résultat du type
(dérivée de J)Û +/(dérivée de Û)
La dérivée de f qui intervient ne peut être que le gradient de f. Le produit de
grad f par Û doit donner un résultat vectoriel, c'est donc un produit vectoriel.
Quant au produit de f par la « dérivée » de Û, il doit donner lui aussi un résultat
vectoriel : forcément on prendra le rotationnel de Û. Finalement, la formule à
établir est donc
fût(JÛ) = gradJ A Û + f;;;;r}
Les démonstrations des formules sont toujours élémentaires.
Pour 2., on applique simplement le résultat établi en 1. pour chaque morceau de
Û ·V, mais ce qu'on obtient n'a rien de très remarquable.
CHAPITRE 4
Indications pour les exercices sur l'intégrale curviligne et la longueur
d'une courbe
Exercice 4.1 Il suffit d'appliquer la proposition 4.14 (p. 172), après avoir défini,
dans chaque cas une fonction Exercice 4.2 Bien paramétrer les arcs, c'est la principale difficulté : après, il
suffit d'appliquer servilement la définition.
Que remarque-t-on? N'aurait-on pas pu procéder autrement?