INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
273
Exercice 3.20 Le calcul direct des dérivées partielles ne présente pas de difficulté.
L'intérêt de cet exercice est d'utiliser les coordonnées polaires, même si ça ne
simplifie pas énormément les calculs. Dans chaque cas, on introduit F = f o 'lj;
(et G = g o 'lj;), on calcule les dérivées partielles de f (par rapport à x et y, et en
(x, y)) en fonction de celles de F (par rapport à r et e, et en (r, e), sachant que
(x,y) = 'l/;(r,e) = (rcose,rsine)). (Même chose pour g et G).
Les expressions de F et de G sont toujours très simples.
Un rappel de trigonométrie utile est cos 3e = cos 3 e - 3 cos e sin 2 e et une formule
analogue pour sin 3e qu'on peut retrouver à partir de la formule de Moivre
(cos e + i sin er =cos ne+ i sin ne.
Exercice 3.21 On applique le corollaire 3. 75 (p. 140) : on a ensuite besoin
d'inverser la matrice jacobienne du changement de variable qu'on utilise. C'est la
difficulté de cet exercice d'inverser ces matrices. Pour les coordonnées cylindriques,
ce n'est pas beaucoup plus difficile que pour les coordonnées polaires en dimension
2, mais pour les coordonnées sphériques, cette inversion est plus délicate. Une
méthode efficace d'inversion de matrice est la suivante :
« L'inverse d'une matrice M est égale à 1 sur le déterminant multiplié par la
transposée de la comatrice de M » :
M-1 = de~ Mt ( com(M))
La comatrice com(M) de la matrice M est la matrice que l'on obtient en remplaçant
chaque terme mij de la matrice M par le déterminant des termes qui restent en
supprimant la
i-ème ligne et la j-è(:e c~lo~)ne, ce déterminant étant affecté du signe - si i + j
est impair. Si M = d e ! , on a
g h ' /,
Lorsqu'on a réussi à inverser cette matrice jacobienne, on obtient facilement une
expression de toutes les dérivées partielles de P, Q, R en fonction des dérivées
partielles des fonctions P =Po 'lj; ouf>= Po les applications changement de variables cylindriques et sphériques (notations du
cours).
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Exercice 3.20 Le calcul direct des dérivées partielles ne présente pas de difficulté.
L'intérêt de cet exercice est d'utiliser les coordonnées polaires, même si ça ne
simplifie pas énormément les calculs. Dans chaque cas, on introduit F = f o 'lj;
(et G = g o 'lj;), on calcule les dérivées partielles de f (par rapport à x et y, et en
(x, y)) en fonction de celles de F (par rapport à r et e, et en (r, e), sachant que
(x,y) = 'l/;(r,e) = (rcose,rsine)). (Même chose pour g et G).
Les expressions de F et de G sont toujours très simples.
Un rappel de trigonométrie utile est cos 3e = cos 3 e - 3 cos e sin 2 e et une formule
analogue pour sin 3e qu'on peut retrouver à partir de la formule de Moivre
(cos e + i sin er =cos ne+ i sin ne.
Exercice 3.21 On applique le corollaire 3. 75 (p. 140) : on a ensuite besoin
d'inverser la matrice jacobienne du changement de variable qu'on utilise. C'est la
difficulté de cet exercice d'inverser ces matrices. Pour les coordonnées cylindriques,
ce n'est pas beaucoup plus difficile que pour les coordonnées polaires en dimension
2, mais pour les coordonnées sphériques, cette inversion est plus délicate. Une
méthode efficace d'inversion de matrice est la suivante :
« L'inverse d'une matrice M est égale à 1 sur le déterminant multiplié par la
transposée de la comatrice de M » :
M-1 = de~ Mt ( com(M))
La comatrice com(M) de la matrice M est la matrice que l'on obtient en remplaçant
chaque terme mij de la matrice M par le déterminant des termes qui restent en
supprimant la
i-ème ligne et la j-è(:e c~lo~)ne, ce déterminant étant affecté du signe - si i + j
est impair. Si M = d e ! , on a
g h ' /,
Lorsqu'on a réussi à inverser cette matrice jacobienne, on obtient facilement une
expression de toutes les dérivées partielles de P, Q, R en fonction des dérivées
partielles des fonctions P =Po 'lj; ouf>= Po les applications changement de variables cylindriques et sphériques (notations du
cours).