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INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
de la définition, et on étudie sa limite pour (h, k) ---+ (0, 0). Si ê n'admet pas de
limite ou admet une limite non nulle, alors f n'est pas différentiable en (0, 0); si
ê a une limite nulle, c'est gagné : f est différentiable en (0, 0).
Exercice 3.15 Aucune difficulté : on applique les définitions.
Exercice 3.16 Pas de difficulté pour f et g. La deuxième méthode pour les
fonctions composées consiste à utiliser le corollaire 3.75 (p. 140) (la première
consistait à déterminer l'expression de ces fonctions composées et à calculer la
matrice jacobienne directement).
Exercice 3.17 1. Pour montrer qu'une application cp est bijective, on étudie
le nombre de solutions, pour tout Y dans l'ensemble d'arrivée, de l'équation
cp(X) =Y : si on arrive à montrer que dans chaque cas il y a une unique solution,
c'est gagné. Pour étudier ce nombre de solutions, le plus simple, c'est encore,
lorsque c'est possible, de résoudre cette équation (qui est en fait un système
d'équations) : l'intérêt de cette résolution est qu'en même temps, si on a une
bijection, on a déterminé la bijection réciproque. Attention, si on a prévu un
ensemble de départ trop grand pour cp, on peut trouver plusieurs solutions au
système dans chaque cas. Le remède, dans ce cas, consiste à rétrécir l'ensemble de
départ pour que le système n'ait plus qu'une solution.
2. Voir l'exercice précédent 3.16, car on doit calculer les dérivées partielles d'une
fonction composée: la matrice jacobienne répond à cette demande.
3. Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues, ce n'est pas
très difficile si on a une technique sûre comme la méthode de Kramer (ou des
déterminants).
4. On reporte dans l'équation ce qu'on vient de calculer, on simplifie l'équation
obtenue, on doit trouver quelque chose de très simple, du type des problèmes de
l'exercice 3.8; on conclut comme dans cet exercice pour les variables u, v, puis on
revient à x, y.
5. On utilise que f est solution, donc il existe une fonction g ...
On calcule alors la dérivée partielle par rapport à x de cette expression, cela donne
une équation qui se simplifie bien si on introduit v, et qui permet de déterminer g
à une constante près. On détermine ensuite la constante en utilisant la dernière
condition.
Exercice 3.18 Même démarche qu'à l'exercice précédent avec des calculs beaucoup plus simples.
Exercice 3.19 S'inspirer de l'exemple traité p. 128. Attention aux notations, ici
on doit remplacer la fonction f et les variables (x, y) respectivement par R et
(R1, R2). Quant à b..R1 et b..R2, ils représentent h et k.
INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
de la définition, et on étudie sa limite pour (h, k) ---+ (0, 0). Si ê n'admet pas de
limite ou admet une limite non nulle, alors f n'est pas différentiable en (0, 0); si
ê a une limite nulle, c'est gagné : f est différentiable en (0, 0).
Exercice 3.15 Aucune difficulté : on applique les définitions.
Exercice 3.16 Pas de difficulté pour f et g. La deuxième méthode pour les
fonctions composées consiste à utiliser le corollaire 3.75 (p. 140) (la première
consistait à déterminer l'expression de ces fonctions composées et à calculer la
matrice jacobienne directement).
Exercice 3.17 1. Pour montrer qu'une application cp est bijective, on étudie
le nombre de solutions, pour tout Y dans l'ensemble d'arrivée, de l'équation
cp(X) =Y : si on arrive à montrer que dans chaque cas il y a une unique solution,
c'est gagné. Pour étudier ce nombre de solutions, le plus simple, c'est encore,
lorsque c'est possible, de résoudre cette équation (qui est en fait un système
d'équations) : l'intérêt de cette résolution est qu'en même temps, si on a une
bijection, on a déterminé la bijection réciproque. Attention, si on a prévu un
ensemble de départ trop grand pour cp, on peut trouver plusieurs solutions au
système dans chaque cas. Le remède, dans ce cas, consiste à rétrécir l'ensemble de
départ pour que le système n'ait plus qu'une solution.
2. Voir l'exercice précédent 3.16, car on doit calculer les dérivées partielles d'une
fonction composée: la matrice jacobienne répond à cette demande.
3. Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues, ce n'est pas
très difficile si on a une technique sûre comme la méthode de Kramer (ou des
déterminants).
4. On reporte dans l'équation ce qu'on vient de calculer, on simplifie l'équation
obtenue, on doit trouver quelque chose de très simple, du type des problèmes de
l'exercice 3.8; on conclut comme dans cet exercice pour les variables u, v, puis on
revient à x, y.
5. On utilise que f est solution, donc il existe une fonction g ...
On calcule alors la dérivée partielle par rapport à x de cette expression, cela donne
une équation qui se simplifie bien si on introduit v, et qui permet de déterminer g
à une constante près. On détermine ensuite la constante en utilisant la dernière
condition.
Exercice 3.18 Même démarche qu'à l'exercice précédent avec des calculs beaucoup plus simples.
Exercice 3.19 S'inspirer de l'exemple traité p. 128. Attention aux notations, ici
on doit remplacer la fonction f et les variables (x, y) respectivement par R et
(R1, R2). Quant à b..R1 et b..R2, ils représentent h et k.