INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
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2. Parmi les 3 points critiques, un seul (le plus simple) pose problème. On montre
que ce n'est pas un extremum en considérant la fonction t t-+ f(x(t), y(t)) lorsque
(x(t), y(t)) est la paramétrisation d'une droite passant par ce point litigieux. Si on
choisit un des axes de coordonnées, cette fonction présente un maximum relatif,
et si on choisit une des bissectrices du repère, c'est un minimum relatif. Avec un
raisonnement précis, cela permet de conclure.
3. Pour résoudre le système, on fait une substitution, et on obtient une équation
du troisième degré qui possède une racine « évidente » qui est un nombre entier
pas très grand. Il y a trois « candidats extremums », et aucun ne pose problème,
même si les calculs sont un peu ardus pour deux d'entre eux.
4. Pour résoudre le système, substituer dans la deuxième équation la valeur de 2x
que l'on tire de la première, puis factoriser ( eY + 1), et enfin étudier la fonction de
y qui doit s'annuler : on montre facilement qu'elle est strictement monotone et
qu'elle n'admet donc qu'une racine, qui est d'ailleurs évidente. Ensuite, il n'y a
plus de problème.
5. Les deux axes de coordonnées sont des ensembles d'« extremums possibles», et
il y a un autre point isolé. Ce dernier ne pose aucun problème. Pour les axes, on
peut montrer que les points de l'axe des ordonnées sont en général des extremums
relatifs, et que ceux de l'axe des abscisses n'en sont pas, mais c'est très difficile, et
vous avez le droit de « laisser tomber ».
3.7 - 3.8 Différentiabilité
Exercice 3.12 Se ramener à la définition de la différentiabilité, après avoir
déterminé précisément quelle forme linéaire on étudie (par exemple en fixant sa
matrice).
Exercice 3.13 Dans chacun des cas, il y a toute une famille de points pour
lesquels il n'y a pas vraiment de problème en vertu du théorème 3.62 (p. 125).
Seule l'origine pour le 1., les axes de coordonnées en 2. et les bissectrices du
repère pour 3. posent problème. On montrera pour tous ces cas qu'il n'y a pas
différentiabilité en utilisant le théorème 3.60 (p. 124) : il suffira de prouver qu'au
moins une des dérivées partielles n'existe pas (en revenant à la définition)
Exercice 3.14 Dans les deux cas, il n'y a aucun problème sur IR. 2 \ { (0, O)} en
vertu du théorème 3.62 (p. 125). On essaie ensuite de montrer qu'il n'y a pas
différentiabilité en (0, 0) en espérant que les dérivées partielles n'existent pas. Si
elles existent, on regarde si elles sont continues en (0, 0) : si c'est le cas on peut
assurer que f est différentiable en ce point. Si elle ne sont pas continues (c'est le
cas au moins dans un des deux cas), on est obligé de revenir à la définition de la
différentiabilité : on détermine la seule valeur que peut prendre la fonction E(h, k)
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2. Parmi les 3 points critiques, un seul (le plus simple) pose problème. On montre
que ce n'est pas un extremum en considérant la fonction t t-+ f(x(t), y(t)) lorsque
(x(t), y(t)) est la paramétrisation d'une droite passant par ce point litigieux. Si on
choisit un des axes de coordonnées, cette fonction présente un maximum relatif,
et si on choisit une des bissectrices du repère, c'est un minimum relatif. Avec un
raisonnement précis, cela permet de conclure.
3. Pour résoudre le système, on fait une substitution, et on obtient une équation
du troisième degré qui possède une racine « évidente » qui est un nombre entier
pas très grand. Il y a trois « candidats extremums », et aucun ne pose problème,
même si les calculs sont un peu ardus pour deux d'entre eux.
4. Pour résoudre le système, substituer dans la deuxième équation la valeur de 2x
que l'on tire de la première, puis factoriser ( eY + 1), et enfin étudier la fonction de
y qui doit s'annuler : on montre facilement qu'elle est strictement monotone et
qu'elle n'admet donc qu'une racine, qui est d'ailleurs évidente. Ensuite, il n'y a
plus de problème.
5. Les deux axes de coordonnées sont des ensembles d'« extremums possibles», et
il y a un autre point isolé. Ce dernier ne pose aucun problème. Pour les axes, on
peut montrer que les points de l'axe des ordonnées sont en général des extremums
relatifs, et que ceux de l'axe des abscisses n'en sont pas, mais c'est très difficile, et
vous avez le droit de « laisser tomber ».
3.7 - 3.8 Différentiabilité
Exercice 3.12 Se ramener à la définition de la différentiabilité, après avoir
déterminé précisément quelle forme linéaire on étudie (par exemple en fixant sa
matrice).
Exercice 3.13 Dans chacun des cas, il y a toute une famille de points pour
lesquels il n'y a pas vraiment de problème en vertu du théorème 3.62 (p. 125).
Seule l'origine pour le 1., les axes de coordonnées en 2. et les bissectrices du
repère pour 3. posent problème. On montrera pour tous ces cas qu'il n'y a pas
différentiabilité en utilisant le théorème 3.60 (p. 124) : il suffira de prouver qu'au
moins une des dérivées partielles n'existe pas (en revenant à la définition)
Exercice 3.14 Dans les deux cas, il n'y a aucun problème sur IR. 2 \ { (0, O)} en
vertu du théorème 3.62 (p. 125). On essaie ensuite de montrer qu'il n'y a pas
différentiabilité en (0, 0) en espérant que les dérivées partielles n'existent pas. Si
elles existent, on regarde si elles sont continues en (0, 0) : si c'est le cas on peut
assurer que f est différentiable en ce point. Si elle ne sont pas continues (c'est le
cas au moins dans un des deux cas), on est obligé de revenir à la définition de la
différentiabilité : on détermine la seule valeur que peut prendre la fonction E(h, k)