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INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
a 2 1
âf a 2 1
et â 2 , on trouve - 8 et â 2 en échangeant le rôle de x et y dans ces expressions
X
y
y
.
Exercice 3.8 1. Considérer la première fonction partielle en (x, y) : la condition
imposée la rend constante : attention, ceci ne signifie pas que f est constante, car
la constante dépend de y.
2. Échanger le rôle de x et y.
3. Appliquer ce qui précède à une des dérivées partielles de f, en se rappelant la
définition de :::y. On obtient une condition nécessaire : f(x, y) est la somme de
deux fonctions d'une variable; il faut ensuite vérifier.
Exercice 3. 9 On a besoin du calcul de ~~ en un point ( x, y) =/:- ( 0, 0) (comme
dans l'exercice III.5), puis de ~~ (x, y) (on peut éviter ce calcul si on est astucieux)
ensuite, on calculera ~~ (0, 0) et ~~ (0, 0), mais là on doit revenir à la définition.
Ensuite on peut calculer, toujours grâce à la définition les deux dérivées partielles
secondes croisées en (0, 0) (inutile de calculer ces dérivées secondes pour (x, y) "1(0, 0)); on trouvera des valeurs différentes, mais ça ne veut pas dire que le théorème
de Schwarz est faux.
Exercice 3.10 On utilisera simplement le théorème 3.40 (p. 97).
Pour 1., on trouve un résultat particulièrement simple.
Exercice 3.11 La démarche est toujours la même : on commence par utiliser le
théorème 3.49 (p. 111), ce qui permet de déterminer les points où il peut y avoir
un extremum, en résolvant le système de deux équations à deux inconnues
{
âf
âx (x,y) = 0
âf
ây(x,y) = 0
Puis on examine chaque «candidat extremum» : pour chacun d'entre eux, on
essaie d'appliquer le théorème 3.52 (p. 114) : on calcule les nombres r, s, t puis le
nombre s 2 - rt. Lorsque le résultat est négatif ou positif, le théorème permet de
conclure facilement. Lorsque le résultat est nul, on doit en général essayer une·
technique de « bricolage » : des indications sont données plus loin.
1. Pas de problème.
INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
a 2 1
âf a 2 1
et â 2 , on trouve - 8 et â 2 en échangeant le rôle de x et y dans ces expressions
X
y
y
.
Exercice 3.8 1. Considérer la première fonction partielle en (x, y) : la condition
imposée la rend constante : attention, ceci ne signifie pas que f est constante, car
la constante dépend de y.
2. Échanger le rôle de x et y.
3. Appliquer ce qui précède à une des dérivées partielles de f, en se rappelant la
définition de :::y. On obtient une condition nécessaire : f(x, y) est la somme de
deux fonctions d'une variable; il faut ensuite vérifier.
Exercice 3. 9 On a besoin du calcul de ~~ en un point ( x, y) =/:- ( 0, 0) (comme
dans l'exercice III.5), puis de ~~ (x, y) (on peut éviter ce calcul si on est astucieux)
ensuite, on calculera ~~ (0, 0) et ~~ (0, 0), mais là on doit revenir à la définition.
Ensuite on peut calculer, toujours grâce à la définition les deux dérivées partielles
secondes croisées en (0, 0) (inutile de calculer ces dérivées secondes pour (x, y) "1(0, 0)); on trouvera des valeurs différentes, mais ça ne veut pas dire que le théorème
de Schwarz est faux.
Exercice 3.10 On utilisera simplement le théorème 3.40 (p. 97).
Pour 1., on trouve un résultat particulièrement simple.
Exercice 3.11 La démarche est toujours la même : on commence par utiliser le
théorème 3.49 (p. 111), ce qui permet de déterminer les points où il peut y avoir
un extremum, en résolvant le système de deux équations à deux inconnues
{
âf
âx (x,y) = 0
âf
ây(x,y) = 0
Puis on examine chaque «candidat extremum» : pour chacun d'entre eux, on
essaie d'appliquer le théorème 3.52 (p. 114) : on calcule les nombres r, s, t puis le
nombre s 2 - rt. Lorsque le résultat est négatif ou positif, le théorème permet de
conclure facilement. Lorsque le résultat est nul, on doit en général essayer une·
technique de « bricolage » : des indications sont données plus loin.
1. Pas de problème.