INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
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Exercice 3.4 1. Une droite passant par l'origine non verticale a une équation du
type y= Àx. Une paramétrisation d'une telle droite est { ~: ~t . Traiter à part
la droite verticale et la droite horizontale, et pour une droite oblique, se rappeler
que W = ftr, poser u = ~ et se rappeler de la valeur de la limite de référence
lim ue-u.
u-t+oo
2. Penser à une parabole passant par l'origine.
3.5 Dérivées partielles
Exercice 3.5 Il n'est pas nécessaire de déterminer à chaque fois l'ensemble le
plus grand possible dans lequel il n'y a pas de problème de dérivabilité. Il suffit de
trouver un domaine de régularité, c'est-à-dire un ensemble ouvert, d'un seul
morceau pour ne pas compliquer, dans lequel on est sûr qu'il n'y a aucun problème
de définition, dans lequel la quantité sous le radical éventuel est strictement
positive, dans lequel la quantité dont on calcule le logarithme est aussi strictement
positive, dans lequel les dénominateurs sont non nuls ...
Dans chaque cas on considère y comme constante pour calculer ~~ puis on
considère x comme constante pour calculer ~; ; en cas de difficulté, remplacer la
lettre désignant la variable considérée comme constante par a ou b, dont il est
plus facile d'oublier le caractère variable.
Lorsque x et y jouent des rôles symétriques, inutile de recalculer ~; lorsqu'on a
déjà ~~ : il suffit d'échanger x et y dans l'expression obtenue; c'est le cas pour
les exercices 10., 11., 12., 14. (au signe près), et 21..
Exercice 3.6 Puisque arccosu n'existe que pour u entre -1et1, on doit résoudre
une inéquation double du type -1 ~ u ~ 1 qu'on a intérêt à écrire sous la forme
lui ~ 1 puis à élever au carré pour faire disparaître valeur absolue et racine carrée.
arccos est continue sur son ensemble de définition, mais non dérivable en -1 et
en 1.
L'expression que l'on obtient pour les dérivées partielles se simplifie beaucoup
(penser à la symétrie pour ne pas refaire deux calculs) ; cependant, il faut bien
penser que ...fX2 ne vaut pas toujours X mais doit être remplacé par IXI.
Exercice 3. 7 Procéder comme pour l'exercice 3.5, mais attention, ici, on demande
l'ouvert le plus grand possible, on ne se contentera pas d'un domaine qui convient.
On pensera, lorsque c'est possible, à utiliser la symétrie en x et y de l'expression
de f ( x, y) pour ne pas faire de calcul inutile : si f ( x, y) = f (y, x), connaissant ~~
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Exercice 3.4 1. Une droite passant par l'origine non verticale a une équation du
type y= Àx. Une paramétrisation d'une telle droite est { ~: ~t . Traiter à part
la droite verticale et la droite horizontale, et pour une droite oblique, se rappeler
que W = ftr, poser u = ~ et se rappeler de la valeur de la limite de référence
lim ue-u.
u-t+oo
2. Penser à une parabole passant par l'origine.
3.5 Dérivées partielles
Exercice 3.5 Il n'est pas nécessaire de déterminer à chaque fois l'ensemble le
plus grand possible dans lequel il n'y a pas de problème de dérivabilité. Il suffit de
trouver un domaine de régularité, c'est-à-dire un ensemble ouvert, d'un seul
morceau pour ne pas compliquer, dans lequel on est sûr qu'il n'y a aucun problème
de définition, dans lequel la quantité sous le radical éventuel est strictement
positive, dans lequel la quantité dont on calcule le logarithme est aussi strictement
positive, dans lequel les dénominateurs sont non nuls ...
Dans chaque cas on considère y comme constante pour calculer ~~ puis on
considère x comme constante pour calculer ~; ; en cas de difficulté, remplacer la
lettre désignant la variable considérée comme constante par a ou b, dont il est
plus facile d'oublier le caractère variable.
Lorsque x et y jouent des rôles symétriques, inutile de recalculer ~; lorsqu'on a
déjà ~~ : il suffit d'échanger x et y dans l'expression obtenue; c'est le cas pour
les exercices 10., 11., 12., 14. (au signe près), et 21..
Exercice 3.6 Puisque arccosu n'existe que pour u entre -1et1, on doit résoudre
une inéquation double du type -1 ~ u ~ 1 qu'on a intérêt à écrire sous la forme
lui ~ 1 puis à élever au carré pour faire disparaître valeur absolue et racine carrée.
arccos est continue sur son ensemble de définition, mais non dérivable en -1 et
en 1.
L'expression que l'on obtient pour les dérivées partielles se simplifie beaucoup
(penser à la symétrie pour ne pas refaire deux calculs) ; cependant, il faut bien
penser que ...fX2 ne vaut pas toujours X mais doit être remplacé par IXI.
Exercice 3. 7 Procéder comme pour l'exercice 3.5, mais attention, ici, on demande
l'ouvert le plus grand possible, on ne se contentera pas d'un domaine qui convient.
On pensera, lorsque c'est possible, à utiliser la symétrie en x et y de l'expression
de f ( x, y) pour ne pas faire de calcul inutile : si f ( x, y) = f (y, x), connaissant ~~