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INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
7. On a envie d'utiliser des équivalents, mais ce n'est pas légitime : il n'y a
aucune théorie à ce sujet dans ce cours sur les fonctions de plusieurs variables, et
on ne peut pas extrapoler ce qui a été étudié pour les fonctions d'une variable.
La solution vient de l'utilisation des développements limités (ici, l'ordre 5 est
suffisant). On coupe ensuite en trois l'expression obtenue avec les d.l. : en premier
l'expression «régulière», ensuite un morceau avec del'« é(x) » puis le morceau
avec du « é(y) ». On montre que les deux derniers termes tendent vers 0 et la
limite du premier terme est évidente puisqu'il est constant.
8. Raisonner comme pour 4 ..
9. Attention à l'ensemble de définition. Ensuite on doit majorer le numérateur en
l'écrivant 1 - cos u et en retrouvant une majoration classique de cette expression
par un monôme du second degré. On conclut en raisonnant comme dans la
démonstration du théorème 3.33 (p. 86).
10. Le degré total n'a pas vraiment de sens, mais comme pour (x, y) proche de
(0,0), on peut considérer que cosx et cosy sont proches de 1, on peut se dire
que le degré du dénominateur est 1. La solution consiste alors à minorer cos x et
cosy par ! si on est suffisamment proche de l'origine, ce qui permet de minorer le
dénominateur qui est positif, et de majorer lf(x, y)!.
11. Une astuce «sanglante» consiste à soustraire puis rajouter le terme xy entre les
deux termes du numérateur. On coupe ensuite en deux le numérateur et chacun des
deux morceaux se factorise avec un terme de la forme sin u - u. On peut majorer
1 sin u - ul par ~ (résultat classique, qu'on démontre avec Taylor-Lagrange), et
on n'a plus qu'à passer en polaires, par exemple pour conclure que la limite est ...
12. Encore une astuce« sanglante»! Au numérateur, on soustrait avant de rajouter
2
2
les termes x 2 et ~, et on coupe le -2 en -1 - 1. Sachant que v'l + u c:= 1 + ~, on
v'l+u-(1+!!)
coupe en 3 la fraction : chaque radical dans un terme du type
D
2 ,
et un dernier terme très simple.
On peut traiter les termes compliqués avec la technique de la quantité conjuguée.
13. Même majoration du dénominateur que dans 9., et minoration du dénominateur
comme dans l'exercice 1.8.
14. Même majoration du numérateur que dans 11.
15. Ajouter et soustraire x 2 et y 2 , pour pouvoir utiliser la majoration du k) et n).
Le «degré total» peut s'estimer en se disant que sin u,...., u, même si ce n'est pas
très rigoureux, ça permet de choisir ce qu'on doit démontrer selon les valeurs de
a.
16. Passage en polaires pour montrer qu'il y a une limite nulle, essais de chemins
sinon.
INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
7. On a envie d'utiliser des équivalents, mais ce n'est pas légitime : il n'y a
aucune théorie à ce sujet dans ce cours sur les fonctions de plusieurs variables, et
on ne peut pas extrapoler ce qui a été étudié pour les fonctions d'une variable.
La solution vient de l'utilisation des développements limités (ici, l'ordre 5 est
suffisant). On coupe ensuite en trois l'expression obtenue avec les d.l. : en premier
l'expression «régulière», ensuite un morceau avec del'« é(x) » puis le morceau
avec du « é(y) ». On montre que les deux derniers termes tendent vers 0 et la
limite du premier terme est évidente puisqu'il est constant.
8. Raisonner comme pour 4 ..
9. Attention à l'ensemble de définition. Ensuite on doit majorer le numérateur en
l'écrivant 1 - cos u et en retrouvant une majoration classique de cette expression
par un monôme du second degré. On conclut en raisonnant comme dans la
démonstration du théorème 3.33 (p. 86).
10. Le degré total n'a pas vraiment de sens, mais comme pour (x, y) proche de
(0,0), on peut considérer que cosx et cosy sont proches de 1, on peut se dire
que le degré du dénominateur est 1. La solution consiste alors à minorer cos x et
cosy par ! si on est suffisamment proche de l'origine, ce qui permet de minorer le
dénominateur qui est positif, et de majorer lf(x, y)!.
11. Une astuce «sanglante» consiste à soustraire puis rajouter le terme xy entre les
deux termes du numérateur. On coupe ensuite en deux le numérateur et chacun des
deux morceaux se factorise avec un terme de la forme sin u - u. On peut majorer
1 sin u - ul par ~ (résultat classique, qu'on démontre avec Taylor-Lagrange), et
on n'a plus qu'à passer en polaires, par exemple pour conclure que la limite est ...
12. Encore une astuce« sanglante»! Au numérateur, on soustrait avant de rajouter
2
2
les termes x 2 et ~, et on coupe le -2 en -1 - 1. Sachant que v'l + u c:= 1 + ~, on
v'l+u-(1+!!)
coupe en 3 la fraction : chaque radical dans un terme du type
D
2 ,
et un dernier terme très simple.
On peut traiter les termes compliqués avec la technique de la quantité conjuguée.
13. Même majoration du dénominateur que dans 9., et minoration du dénominateur
comme dans l'exercice 1.8.
14. Même majoration du numérateur que dans 11.
15. Ajouter et soustraire x 2 et y 2 , pour pouvoir utiliser la majoration du k) et n).
Le «degré total» peut s'estimer en se disant que sin u,...., u, même si ce n'est pas
très rigoureux, ça permet de choisir ce qu'on doit démontrer selon les valeurs de
a.
16. Passage en polaires pour montrer qu'il y a une limite nulle, essais de chemins
sinon.