INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
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On doit partir d'une majoration de la norme de (x, y) - (-3, 1) = (x + 3, y - 1).
On a intérêt à écrire
lf(x,y)- (-2)1 = l(x - 2y + 3) - (-3- 2.1+3)1 = J(x - (-3)) - 2(y-1)J.
Par inégalité triangulaire, on a
JJ(x, y) - (-2)J ~ lx+ 31+2ly - li.
Si on utilise la norme du max, on a lx+ 31 ~ max(lx + 31, IY - li) et IY - li ~
max(lx + 31, IY - li); on a donc
JJ(x, y) - (-2)J ~ 3JJ(x, y) - (-3, 1)JJ 00 •
On peut alors facilement trouver une valeur de 'T/ satisfaisante et il ne reste plus
qu'à écrire dans le bon ordre la succession de V, 3
Si on utilise la norme euclidienne, on peut utiliser une des inégalités du théorème
1.9 (p. 7).
Pour la norme somme, on a lx+ 31+2ly- li~ 2(lx + 31 + IY - li).
Exercice 3.2 Quelle que soit la norme considérée, on écrit
ll
f(x,y,z)- ( 6) Il= I l ((x-y + 2z)- (1- (-1) + 2.2)) I l
-3
(x - 2z) - (1 - 2.2)
= I l ( (x - tl = ~) = ~~z+- 2 ~)2
)) I l ·
On utilise ensuite au mieux l'inégalité triangulaire pour majorer cette quantité et
introduire la norme de (x, y, z) - (1, -1, 2) = (x - 1, y+ 1, z - 2).
La façon la plus simple de procéder consiste à utiliser la norme somme dans
l'espace d'arrivée et la norme du max dans l'espace de départ.
3.4 Détermination pratique de limites
Exercice 3.3 1. et 2. Essayer différents chemins.
3. Penser à la technique utilisée pour l'exemple p. 88, puisque c'est un dénominateur
du même type.
4. Calculer le degré total (voir p. 88) pour séparer les cas. Lorsque ce degré total
est positif, utiliser le passage en polaires et le corollaire 3.34 (p. 87) pour montrer
que la limite est nulle.
Lorsque le degré total est négatif ou nul essayer différents chemins.
5. Degré total positif, donc passage en polaires.
6. Le degré total n'a pas de sens, mais on essaiera différents chemins.