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INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
Sur cet intervalle, il y a deux points stationnaires. Pour l'étude de ces points
stationnaires, on peut au choix dériver ou utiliser les développements limités, mais
ceux-ci en 2 ; ne sont pas évidents.
Traiter l'intersection avec les axes.
On essaiera de montrer, si on en a le courage, l'invariance de la courbe par rotation
d'angle 2 ; .
Exercice 2.5 Même domaine d'étude qu'à l'exercice précédent.
Une asymptote parallèle à un des axes.
Un point stationnaire à étudier. Si on choisit de dériver 3 fois x, on a intérêt à
introduire la fonction tan dans l'expression de x' pour ne pas trop compliquer:
en effet, sa dérivée est 1 + tan 2 , et les dérivées successives utilisent uniquement ce
type d'expression, et pour t = 7r / 4, on a tan i = 1.
Les points d'intersection avec les axes ne peuvent se déterminer que numériquement.
Exercice 2.6 À étudier : une branche infinie et un point limite.
Pour montrer la symétrie, observer sur le dessin et déterminer l'axe, puis on
réfléchira à une transformation cp simple échangeant les paramètres des deux
points où la tangente est horizontale. On montre ensuite que M(t) et M(cp(t))
sont symétriques.
Il y a aussi un point double à déterminer.
Exercice 2. 7 Deux branches infinies à étudier séparément aux infinis.
Un point stationnaire, également.
Exercice 2.8 Étudier les branches infinies et le point stationnaire.
La courbe est très difficile à représenter, pour des questions d'échelle : avec de
toutes petites unités, on ne voit plus bien ce qui se passe au voisinage du point
stationnaire, mais en agrandissant, on ne voit pas tous les points d'intersection
avec les axes, ni même tous les points avec tangente parallèle aux axes. On peut
faire deux dessins.
Exercice 2.9 Branches infinies et point stationnaire. Pour le point stationnaire
en 0, on a vraiment intérêt à utiliser les développements limités.
CHAPITRE 3
Indications pour les exercices sur les fonctions de JRP vers ]Rn
3.2 Compréhension des définitions
Exercice 3.1 Soit ê > O. On cherche une condition suffisante de proximité de
(x, y) avec (-3; 1) permettant d'obtenir lf(x, y) - (-2)1 :::;; ê.
INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
Sur cet intervalle, il y a deux points stationnaires. Pour l'étude de ces points
stationnaires, on peut au choix dériver ou utiliser les développements limités, mais
ceux-ci en 2 ; ne sont pas évidents.
Traiter l'intersection avec les axes.
On essaiera de montrer, si on en a le courage, l'invariance de la courbe par rotation
d'angle 2 ; .
Exercice 2.5 Même domaine d'étude qu'à l'exercice précédent.
Une asymptote parallèle à un des axes.
Un point stationnaire à étudier. Si on choisit de dériver 3 fois x, on a intérêt à
introduire la fonction tan dans l'expression de x' pour ne pas trop compliquer:
en effet, sa dérivée est 1 + tan 2 , et les dérivées successives utilisent uniquement ce
type d'expression, et pour t = 7r / 4, on a tan i = 1.
Les points d'intersection avec les axes ne peuvent se déterminer que numériquement.
Exercice 2.6 À étudier : une branche infinie et un point limite.
Pour montrer la symétrie, observer sur le dessin et déterminer l'axe, puis on
réfléchira à une transformation cp simple échangeant les paramètres des deux
points où la tangente est horizontale. On montre ensuite que M(t) et M(cp(t))
sont symétriques.
Il y a aussi un point double à déterminer.
Exercice 2. 7 Deux branches infinies à étudier séparément aux infinis.
Un point stationnaire, également.
Exercice 2.8 Étudier les branches infinies et le point stationnaire.
La courbe est très difficile à représenter, pour des questions d'échelle : avec de
toutes petites unités, on ne voit plus bien ce qui se passe au voisinage du point
stationnaire, mais en agrandissant, on ne voit pas tous les points d'intersection
avec les axes, ni même tous les points avec tangente parallèle aux axes. On peut
faire deux dessins.
Exercice 2.9 Branches infinies et point stationnaire. Pour le point stationnaire
en 0, on a vraiment intérêt à utiliser les développements limités.
CHAPITRE 3
Indications pour les exercices sur les fonctions de JRP vers ]Rn
3.2 Compréhension des définitions
Exercice 3.1 Soit ê > O. On cherche une condition suffisante de proximité de
(x, y) avec (-3; 1) permettant d'obtenir lf(x, y) - (-2)1 :::;; ê.