INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
265
Exercice 1.11 a) La méthode de l'exercice précédent s'applique : sur un dessin,
il est facile de trouver une boule ne touchant pas une droite, lorsque le centre de
cette boule est fixé en dehors de la droite. On n'est pas obligé, pour 1., d'utiliser
la norme euclidienne : la norme du max est peut-être plus simple. Pour le 2., la
norme euclidienne s'impose, et on rappelle la formule de géométrie : la distance
(euclidienne) d'un point X = (x, y) à la droite D est donnée par (K étant le
projeté orthogonal de X sur D)
d (X D) = d (X K) = lax + by +cl = min d (X M)
2
'
2
'
Ja2 + b2
MED 2
'
b) Pour une suite convergente d'éléments de D, on passera à la limite dans
l'équation qui caractérise l'appartenance de chaque terme de la suite à D.
CHAPITRE 2
Indications pour les exercices sur fonctions vectorielles et courbes paramétrées
Exercice 2.1 Juste un point stationnaire pour t =O.
Exercice 2.2 Branche infinie pour t-+ 1. C'est une asymptote oblique, et il faut
étudier la position relative de la courbe et de cette droite. On peut poser t = 1 + h
pour simplifier les calculs, mais ce n'est pas obligatoire.
Il y a un point double. Déterminer la position des tangentes en ce point double :
elles font entre elles un angle remarquable. Pour tous les calculs concernant ce
point double, on utilisera que les 2 paramètres tj de ce point sont solutions de
T 2 = T + 1, ce qui simplifie bien les calculs; on utilisera aussi tt' = 1 = t + t', si t
et t' désignent les 2 paramètres de ce point double.
Exercice 2.3 Pas de branche infinie, mais un point limite pour t-+ oo.
également un point stationnaire, pour l'étude duquel il serait épouvantablement
fastidieux de calculer les dérivées secondes et troisièmes de x et surtout de y. La
bonne méthode consiste à faire le changement de variable t = to + h puis d'utiliser
le développement limité à l'ordre 3 de x et de y au voisinage de to, qu'on obtient
alors par une division selon les puissances croissantes.
Penser comme toujours à étudier les points d'intersection avec les axes et à préciser
les points où la tangente est verticale ou horizontale.
Exercice 2.4 211'-périodicité et parité de x et de y permettent de réduire l'intervalle d'étude à I = [O, 11' ].
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Exercice 1.11 a) La méthode de l'exercice précédent s'applique : sur un dessin,
il est facile de trouver une boule ne touchant pas une droite, lorsque le centre de
cette boule est fixé en dehors de la droite. On n'est pas obligé, pour 1., d'utiliser
la norme euclidienne : la norme du max est peut-être plus simple. Pour le 2., la
norme euclidienne s'impose, et on rappelle la formule de géométrie : la distance
(euclidienne) d'un point X = (x, y) à la droite D est donnée par (K étant le
projeté orthogonal de X sur D)
d (X D) = d (X K) = lax + by +cl = min d (X M)
2
'
2
'
Ja2 + b2
MED 2
'
b) Pour une suite convergente d'éléments de D, on passera à la limite dans
l'équation qui caractérise l'appartenance de chaque terme de la suite à D.
CHAPITRE 2
Indications pour les exercices sur fonctions vectorielles et courbes paramétrées
Exercice 2.1 Juste un point stationnaire pour t =O.
Exercice 2.2 Branche infinie pour t-+ 1. C'est une asymptote oblique, et il faut
étudier la position relative de la courbe et de cette droite. On peut poser t = 1 + h
pour simplifier les calculs, mais ce n'est pas obligatoire.
Il y a un point double. Déterminer la position des tangentes en ce point double :
elles font entre elles un angle remarquable. Pour tous les calculs concernant ce
point double, on utilisera que les 2 paramètres tj de ce point sont solutions de
T 2 = T + 1, ce qui simplifie bien les calculs; on utilisera aussi tt' = 1 = t + t', si t
et t' désignent les 2 paramètres de ce point double.
Exercice 2.3 Pas de branche infinie, mais un point limite pour t-+ oo.
également un point stationnaire, pour l'étude duquel il serait épouvantablement
fastidieux de calculer les dérivées secondes et troisièmes de x et surtout de y. La
bonne méthode consiste à faire le changement de variable t = to + h puis d'utiliser
le développement limité à l'ordre 3 de x et de y au voisinage de to, qu'on obtient
alors par une division selon les puissances croissantes.
Penser comme toujours à étudier les points d'intersection avec les axes et à préciser
les points où la tangente est verticale ou horizontale.
Exercice 2.4 211'-périodicité et parité de x et de y permettent de réduire l'intervalle d'étude à I = [O, 11' ].