264
INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
(iii) peut se faire soit en élevant les deux membres au carré, soit en utilisant
l'inégalité triangulaire pour des normes de référence dans ~ 2 . Par exemple, grâce
à l'inégalité triangulaire de la norme euclidienne dans ~ 2 , on a
V(a + a')2 + (b + b')2 ~ J a2 + b2 + Ja12 + b'2
Dans un des trois cas, N n'est pas une norme.
Pour montrer l'équivalence avec les normes usuelles, il faut dans chaque cas faire
le choix d'une des trois normes usuelles et raisonner comme pour l'exercice 1.4.
Exercice 1.6 On utilise la première inégalité triangulaire (d3) d'abord pour
majorer d(x, y) en utilisant z, puis pour majorer d(y, z) en utilisant x. Il faut,
dans chaque cas changer un terme de côté, et raisonner comme à chaque fois qu'on
doit montrer une deuxième inégalité triangulaire : en utilisant IAI =max( A, -A).
Exercice 1. 7 Caractériser l'appartenance de X = ( x, y) à la boule par une
inéquation. Pour résoudre l'inéquation obtenue qui contient des valeurs absolues,
on « enlève les valeurs absolues » grâce à une étude de cas.
Exercice 1.8 Voir la méthode de l'exercice 1.5. Pour montrer que N est une
application, puis plus loin pour montrer son équivalence à la norme euclidienne,
x2 + y2
x2 + y2
on peut utiliser l'encadrement -
2
~ xy ~
2
x2 + (x + y)2 + y2
On peut aussi utiliser l'astuce x 2 + xy + y 2 =
2
·
Dans la question 3., le contour de la boule à représenter est une ellipse.
Exercice 1.9 Commencer par deviner la limite logique de la suite (up) (si Lest
la limite de (XP).)
Puis écrire d'une part l'hypothèse, d'autre part ce qu'on doit démontrer, en
appliquant la définition par€, 'fJ· Le lien entre ces deux énoncés est assuré par la
seconde inégalité triangulaire.
Penser à tout réorganiser et ordonner pour la rédaction finale.
Exercice 1.10 1. Sur un dessin, il n'est pas bien difficile de tracer un disque
centré en un point X et ne contenant pas l'origine. Le rayon maximum d'un tel
disque est r = d2(0,X) = llXll2. N'a-t-on pas ainsi trouvé pour tout point de
U une boule centrée en ce point et incluse dans U? Il n'y a plus qu'à rédiger
proprement.
2. Une suite d'éléments qui sont tous dans le complémentaire de U, il est difficile
d'en trouver beaucoup! Il n'y en a même qu'une, et sa limite est facile à trouver.
INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
(iii) peut se faire soit en élevant les deux membres au carré, soit en utilisant
l'inégalité triangulaire pour des normes de référence dans ~ 2 . Par exemple, grâce
à l'inégalité triangulaire de la norme euclidienne dans ~ 2 , on a
V(a + a')2 + (b + b')2 ~ J a2 + b2 + Ja12 + b'2
Dans un des trois cas, N n'est pas une norme.
Pour montrer l'équivalence avec les normes usuelles, il faut dans chaque cas faire
le choix d'une des trois normes usuelles et raisonner comme pour l'exercice 1.4.
Exercice 1.6 On utilise la première inégalité triangulaire (d3) d'abord pour
majorer d(x, y) en utilisant z, puis pour majorer d(y, z) en utilisant x. Il faut,
dans chaque cas changer un terme de côté, et raisonner comme à chaque fois qu'on
doit montrer une deuxième inégalité triangulaire : en utilisant IAI =max( A, -A).
Exercice 1. 7 Caractériser l'appartenance de X = ( x, y) à la boule par une
inéquation. Pour résoudre l'inéquation obtenue qui contient des valeurs absolues,
on « enlève les valeurs absolues » grâce à une étude de cas.
Exercice 1.8 Voir la méthode de l'exercice 1.5. Pour montrer que N est une
application, puis plus loin pour montrer son équivalence à la norme euclidienne,
x2 + y2
x2 + y2
on peut utiliser l'encadrement -
2
~ xy ~
2
x2 + (x + y)2 + y2
On peut aussi utiliser l'astuce x 2 + xy + y 2 =
2
·
Dans la question 3., le contour de la boule à représenter est une ellipse.
Exercice 1.9 Commencer par deviner la limite logique de la suite (up) (si Lest
la limite de (XP).)
Puis écrire d'une part l'hypothèse, d'autre part ce qu'on doit démontrer, en
appliquant la définition par€, 'fJ· Le lien entre ces deux énoncés est assuré par la
seconde inégalité triangulaire.
Penser à tout réorganiser et ordonner pour la rédaction finale.
Exercice 1.10 1. Sur un dessin, il n'est pas bien difficile de tracer un disque
centré en un point X et ne contenant pas l'origine. Le rayon maximum d'un tel
disque est r = d2(0,X) = llXll2. N'a-t-on pas ainsi trouvé pour tout point de
U une boule centrée en ce point et incluse dans U? Il n'y a plus qu'à rédiger
proprement.
2. Une suite d'éléments qui sont tous dans le complémentaire de U, il est difficile
d'en trouver beaucoup! Il n'y en a même qu'une, et sa limite est facile à trouver.