Indications pour la résolution des exercices
CHAPITRE 1
Indications pour les exercices sur la topologie dans )Rn
Exercice 1.1 Majorer, par inégalité triangulaire la norme de X= (X - Y)+ Y,
puis échanger le rôle de X et Y. Se souvenir que IA-BI = max((A-B), (B-A)).
Exercice 1.2 Aucune difficulté. Penser à vérifier que Ni est à valeurs dans ~+.
Pour {i)', on utilise le fait qu'une somme de nombres tous positifs ou nuls ne peut
être nulle que si tous ses termes sont nuls.
Exercice 1.3 Bien poser les hypothèses à chaque fois : dire qu'une norme N est
équivalente à une norme N {noter N rv N) doit toujours être traduit par :
3Gi, C2 > 0 tels que VX, on a CiN{X) ~ N(X) ~ C2N(X).
Les constantes strictement positives peuvent être multipliées et inversées.
Exercice 1.4 Il y a 5 inégalités à établir pour tout X E ~n :
a) N00{X) ~ N2(X). b) N2(X) ~ Ni{X). c) Ni(X) ~ nN00 (X).
d) N2(X) ~ J"iÏN00{X). e) Ni{X) ~ J"iÏN2(X).
Pour tout ce qui concerne N00{X), on utilise un indice j tel que N00{X) = lxil·
Pour a), on utilise lxil = ftj.
Pour b), on compare les carrés.
c) et d) s'obtiennent en majorant tous les lxil par lxil·
Pour e), on élève Ni {X) au carré, puis on majore chaque double produit grâce à
la formule 2ab ~ a 2 + b 2 •
Les contre exemples permettant de montrer que ces inégalités ne peuvent être
améliorées s'obtiennent avec ei = {1, 0 ... , 0) ou avec W = (1, ... , 1) selon les cas.
Exercice 1.5 Pour chacune des questions on essaie d'appliquer la proposition
1.2 (p. 3) après avoir vérifié que N est bien une application à valeurs dans ~+.
(i)' se fait toujours en utilisant la propriété d'une somme nulle de nombres positifs.
(ii) ne pose jamais de problème