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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
On en déduit que r;- (V) = r;+ (V), c'est-à-dire que le flux d'entrée est égal au
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flux de sortie.
Remarque : On montre qu'un champ de vecteurs défini sur un ouvert étoilé est
à flux conservatif, (de divergence nulle), si et seulement si il dérive d'un potentiel
vecteur, c'est-à-dire est un champ de rotationnel; il est conseillé de revoir le
théorème 3.85 et la définition 3.86 (p. 153), et bien comprendre l'analogie, et de
toutes f~ons il est facile de montrer (sans hypothèse de domaine étoilé) qu'on a
div(rot ) = 0 : on peut par exemple utiliser le formalisme V.
Remarque : On peut retrouver un des aspects de la formule de Stokes-Ampère
grâce au théorème d'Ostrogradski.
(5.17)
Si E et E' sont deux nappes de même bord (on suppose qu'elles ne se rencontrent
pas en dehors de leur bord commun r), la partie de l'espace comprise entre ces
deux nappes est un domaine b.., dont la frontière est formée par la réunion de E
et de E'.
Réfléchissons un instant à l'orientation de tout cela. à partir d'une orientation
r+ der, on oriente «en parallèle» les deux nappes E et E'. L'orientation de la
frontière de b.. vers l'extérieur est forcément inverse avec une des deux orientations
(voir figure) : cette frontière, orientée vers l'extérieur est donc formée de la réunion,
disons de E+ et de E'-.
Sans utiliser Stokes-Ampère, mais en utilisant Ostrogradski, nous pouvons alors
retrouver que