5.4 INTÉGRALES DE SURFACE
255
-ffv (R(x,y,~ 1 (x,y)i) . [ = ~ l
dx dy
= jfv R(x, y, h(x, y)) dx dy - jfv R(x, y, fi(x, y)) dx dy = fs.
D
Remarque : Lorsque la divergence de V est nulle, on dit que V est à flux
conservatif. Ce vocabulaire provient de la conséquence suivante du théorème 5.26 :
le flux de V à l'entrée d'un domaine est le même que le flux à la sortie.
Pour comprendre ce que cela signifie, séparons la frontière E du domaine Li en
deux morceaux Ei et E2 :
• on définit E1 comme étant la partie de E+ sur laquelle V · If < 0 (cela signifie
que l'angle de ces deux vecteurs est obtus). Le flux de V à travers Et est donc
forcément négatif, et on définit le flux d'entrée dans Li de V comme étant
q,E_ (V) = _q,E+ (V);
1
1
• on définit E2 comme étant la partie de E+ sur laquelle V · If > 0 (cela signifie
que l'angle de ces deux vecteurs est aigu). Le flux de V à travers Et est donc
forcément positif, et on définit le flux de sortie de~ de V comme étant q,E+(V).
2
Il reste une troisième partie Eo de E+, celle sur laquelle on a V · If = O. Elle
n'est pas forcément négligeable, mais on est sûr que le flux de V à travers cette
surface Eo est nul.
(5.16)
Par additivité, on obtient donc, en utilisant que div V = 0, et le théorème
d'Ostrogradski :
o = q,E+(V) = q,E+(V) + q,E+(V) + q,E+(V) = o + q,E+(V) + q,E+(V)
0
1
2
1
2
o = _q,E-(V) + q,E+(V).
1
2