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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
Pour cela, on admet que ~ peut être caractérisé par
(x y z) E ~ ~ {
(x, y) E '[)
' '
fi(x,y)::::;; z::::;; h(x,y)
Remarquons que cela signifie que la frontière E de ~ peut être décomposée en
deux parties 3 : E = Ei U E2, avec Ei est la nappe représentative de la fonction
fi, naturellement paramétrée par z = fi ( x, y), ( x, y) E 'D et E2 est la nappe
représentative de la fonction h, naturellement paramétrée par z = h(x, y),
(x, y) E 'D.
Remarquons de plus que l'orientation naturelle de Ei est vers le haut, ce qui est
vers l'intérieur de~' alors que le haut de E2 est vers l'extérieur de~ : avec les
conventions habituelles, on notera donc E+ = E! U Et.
On peut maintenant calculer
h = {[{ ~R dx dy dz = {[ ( fh(x,y) ~R (x, y, z) dz) dx dy
JJJt::.. uz
JJv iJi(x,y) uz
= {[ (R(x y z))z=f2(x,y) dx dy
JJv
' ' z=fi(x,y)
= Jfv R(x,y,f2(x,y)) dx dy- jfv R(x,y,J1(x,y)) dx dy.
Calculons à présent le deuxième membre de l'égalité (5.15).
3 En fait, il y a éventuellement une troisième partie, qui est alors la nappe verticale Eo joignant
les nappes Ei et E2. Le fait de l'omettre ne fausse pas le résultat, car V 3 étant un champ de
vecteurs tous verticaux, ils sont parallèles à Eo et orthogonaux à If en tout point de Eo, et le
flux de ce champ de vecteurs verticaux à travers cette nappe verticale est nul.