5.4 INTÉGRALES DE SURFACE
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âR âQ
ây âz âz ây
- - -
ây
âz
- - - - -
âu âv âu âv
= Jfv
âP âR
âz âx âx âz
- - -
- - - - -
âz
âx
âu âv âu âv
âQ âP
âx ây ây âx
- - -
- - - - -
âx
ây
âu âv âu âv
Et on trouve que I = J en comparant tous les termes.
D
Formule d 'Ostrogradski
Théorème 5.26 (Ostrogradski) Soit~ un domaine de l'espace ~ 3 , dont la
frontière est une surface paramétrée â~ = E; on choisira r;+ l'orientation de E
«vers l'extérieur». Alors pour tout champ vectoriel V, défini sur~' le flux de
V à travers r;+ est égal à l'intégrale triple de la divergence de V sur~. Cela
s'écrit :
Jf l div V dx dy dz = !h.+ (V · zi) der= Preuve La démonstration de ce théorème ressemble beaucoup à celle du théorème
de Green-Riemann.
~ (p)
. ~ âP âQ âR
On pose V = ~ et on a donc div( V ) = âx + ây + âz ·
D'autre part, on va écrire V = V 1 + V 2 + V 3 en posant :
Grâce à la linéarité des différentes intégrations, la formule d'Ostrogradski sera
établie si on arrive à en montrer les trois parties suivantes
(5.13)
(5.14)
(5.15)
Jfl ~= dx dy dz = Jh.+ V 1 · zi der ;
Jfl ~~ dx dy dz = ih+ V 2 · zi der ;
JJL ~~ dx dy dz = !h.+ V3 · zi der.
En effet, il suffit alors de tout additionner pour obtenir le résultat attendu.
Nous nous contenterons de démontrer la troisième formule (5.15), en vous demandant d'admettre que les deux autres formules s'établissent de la même façon en
changeant l'ordre des variables (vous pouvez aussi en faire la démonstration à
titre d'exercice).