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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
{On a pu utiliser le théorème de Schwarz, car on a fait l'hypothèse que toutes les
fonctions rencontrées sont suffisamment continûment dérivables.)
Maintenant, on utilise la formule de dérivation des fonctions composées, valable
aussi pour des dérivées partielles, ce qui nous donne, ici
âP âP âx âP ây âP âz
- - - - + - - + - - ·
âu - âx âu ây âu âz âu '
âP âP âx âP ây âP âz
- - - - + - - + - - ·
âv - âx âv
ây âv
âz âv '
âQ âQ âx âQ ây âQ âz
âu = âx âu + ây âu + âz âu ; etc.
Donc, en reportant, on trouve
1 = {{ (âP âxâx + âP âyâx + âP âzâx + âQ âxây
Jlv âx âu âv ây âu âv âz âu âv âx âu âv
âQ ây ây âQ âz ây âR âx âz âR ây âz âR âz âz
+ - - - + - - - + - - - + - - - + - - -
ây âu âv
âz âu âv âx âu âv ây âu âv
âz âu âv
&&& &~& &&& ~&~ ~~~
- -
- - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
âx âv âu ây âv âu âz âv âu âx âv âu ây âv âu
_ âQ âzây _ âR âxâz _ âR âyâz _ âR âzâz) dudv
âz âv âu âx âv âu ây âv âu âz âv âu
1 = {{ ((âR _ âQ) (ây âz _ ây âz)
Jlv ây âz âu âv âv âu
+ (âP _ âR) (âz âx _ âz âx·)
âz
âx
âu âv âv âu
+ (âQ _ âP) (âx ây _ âx ây)) du dv.
âx
ây
âu âv âv âu
Calculons maintenant le second membre de la formule de Stokes-Ampère :
J= !k+(~ · zf) do-= jfv ~ · N dudv
= Jfv
âR âQ
âx
âx
ây
âz
âP âR
âz
âx
âQ âP
âx
ây
âu
ây
âu
âz
âu
/\
âv
ây
âv
âz
âv
du dv