5.4 INTÉGRALES DE SURFACE
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Tout ceci étant précisé, on va d'abord calculer le second membre de la formule :
!= r V(M)·dM=1bV(gocp(t))·(gocp)'(t)dt
lr+
a
= 1b (P(gocp(t))(xocp)'(t) + Q(gocp(t))(yocp)'(t) + R(gocp(t))(zocp)'(t))dt
1 b ( ~ (Fx
8x
) ~ (ay
8y
)
l = a P(t) âu (t)u'(t) + âv (t)v'(t) + Q(t) âu (t)u'(t) + âv (t)v'(t)
+ R(t) (~~ (t)u'(t) + ~~ (t)v'(t)) dt.
-
-
)
On a posé P(t) = P(x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))), etc. et de la même
8x
âx
façon âu (t) = âu (u(t),v(t)), etc.
1 b((~Fx ~8Y ~&)
(~Fx ~8Y ~&)
)
I = a p âu + Q âu + R âu ( t) u' ( t) + p âv + Q âv + R âv ( t) v' ( t) dt
1=1 w,
"Y+
en considérant la forme différentielle w du plan ~ 2 des couples ( u, v), définie par :
w = Adu+Bdv
( -âx
-ây
-âz)
(-âx
-ây
-âz)
= p âu + Q âu + R âu du+ p âv + Q âv + R âv dv.
(On a posé P = P(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) etc.) On peut alors appliquer la formule
de Green-Riemann et on obtient