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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
5.4.6 Formules de Green (Stokes-Ampère, Ostrogradski)
Formule de Stokes-Ampère
Théorème 5.25 (Stokes-Ampère) Soit E une nappe paramétrée et r l'arc
fermé dont le support est le bord de E. On choisit une orientation E+ de E, et r+
est l'orientation du bord qui en découle.
Alors pour tout champ vectoriel V défini sur un domaine contenant E, la circulation le long de r+ de V est égale au flux à travers la surface orientée E+ du
rotationnel de V. Cela s'écrit
~E+(~) = r v(M).
ou encore
rr (~). ïl der= r V(M). dM.
j}E+
lr+
La démonstration de ce théorème, un peu technique, n'est pas très difficile et
montre que ce théorème est une traduction fidèle du Théorème de Green-Riemann
en dimension 3.
Nous pouvons d'abord faire deux remarques :
Remarque : Si V (M) est un champ dérivant d'un potentiel, on se rappelle
que cela entraîne que ~ = Ô, et on retrouve grâce à cette formule que la
circulation d'un champ de gradient sur un arc fermé est nulle.
Remarque : Il existe plusieurs surfaces E ayant le même bord. Ce théorème
montre que le flux d'un champ de rotationnel à travers une surface ne dépend que
du bord de cette surface : nous considérerons ce résultat d'un autre point de vue
après le théorème suivant d'Ostrogradski.
Preuve de la formule de Stokes-Ampère
On commence par préciser les notations :
Soit ('D, g) une paramétrisation de E+. On note comme d'habitude x,y,z les
fonctions composantes de g et M = M(u,v) = g(u,v) est le point générique de
E.
Soit,+ l'arc paramétré fermé dont le support est le contour de 'D, orienté comme
r+, de sorte que ([a, b], cp) étant une paramétrisation de,+, une paramétrisation
de r+ est ( [a, b], g o cp) ; on note tout à fait logiquement ( u, v) les fonctions
composantes de cp (il y en a deux, puisque 'D donc le support de ,+ sont des
sous-ensembles de ~ 2 ).
Pour finir, on notera classiquement P, Q, R les composantes du champ V.
CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
5.4.6 Formules de Green (Stokes-Ampère, Ostrogradski)
Formule de Stokes-Ampère
Théorème 5.25 (Stokes-Ampère) Soit E une nappe paramétrée et r l'arc
fermé dont le support est le bord de E. On choisit une orientation E+ de E, et r+
est l'orientation du bord qui en découle.
Alors pour tout champ vectoriel V défini sur un domaine contenant E, la circulation le long de r+ de V est égale au flux à travers la surface orientée E+ du
rotationnel de V. Cela s'écrit
~E+(~) = r v(M).
ou encore
rr (~). ïl der= r V(M). dM.
j}E+
lr+
La démonstration de ce théorème, un peu technique, n'est pas très difficile et
montre que ce théorème est une traduction fidèle du Théorème de Green-Riemann
en dimension 3.
Nous pouvons d'abord faire deux remarques :
Remarque : Si V (M) est un champ dérivant d'un potentiel, on se rappelle
que cela entraîne que ~ = Ô, et on retrouve grâce à cette formule que la
circulation d'un champ de gradient sur un arc fermé est nulle.
Remarque : Il existe plusieurs surfaces E ayant le même bord. Ce théorème
montre que le flux d'un champ de rotationnel à travers une surface ne dépend que
du bord de cette surface : nous considérerons ce résultat d'un autre point de vue
après le théorème suivant d'Ostrogradski.
Preuve de la formule de Stokes-Ampère
On commence par préciser les notations :
Soit ('D, g) une paramétrisation de E+. On note comme d'habitude x,y,z les
fonctions composantes de g et M = M(u,v) = g(u,v) est le point générique de
E.
Soit,+ l'arc paramétré fermé dont le support est le contour de 'D, orienté comme
r+, de sorte que ([a, b], cp) étant une paramétrisation de,+, une paramétrisation
de r+ est ( [a, b], g o cp) ; on note tout à fait logiquement ( u, v) les fonctions
composantes de cp (il y en a deux, puisque 'D donc le support de ,+ sont des
sous-ensembles de ~ 2 ).
Pour finir, on notera classiquement P, Q, R les composantes du champ V.