5.4 INTÉGRALES DE SURFACE
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tout de même le domaine V dans lequel on travail : puisqu'on veut que z ~ 0
pour z = x 2 + y 2 - 1, on choisira (x, y) tels que x 2 + y 2 ~ 1, c'est-à-dire que V
est le disque unité.
, . .
11
A
âf
2 B
âf
Avec cette parametnsat1on nature e, on a vu que = - âx = - x, = - ây =
-2y et C = 1.
On a donc
cl>E+(V) = Jfv ((-2x).x + (-2y).y + 1.z) dx dy
= jfv (-2x 2 - 2y 2 + x 2 + y 2 - 1) dx dy
= - Jfv (1 + x 2 + y 2 ) dx dy (un passage en polaires s'impose)
1
27!"
fol 2
[r2
r4 l r=l 3 37r
= -
dB
(1 + r ) r dr = -2?r - + -
= -2?r - = - -
o
O
2
4 r=O
4
2
Il n'est pas très étonnant que le résultat soit négatif, car le vecteur V est toujours
tourné vers le bas quand on est sur E+, alors que la normale à la surface est
toujours tournée vers le haut : si on fait une figure, on se convainc facilement que
le produit scalaire V . If est toujours négatif, et l'intégrale (même de surface)
d'une fonction négative est toujours négative.
Les propriétés du flux sont tout à fait naturelles.
Proposition 5.24
• Linéarité: cl>E+(À V+ µW) = Àcl>E+(V) + µcl>E+(W)
• Additivité : Si E+ = Et U Et, les orientations de Et et de Et étant compatibles entre elles et avec celles de E+, avec Et n Et négligeable (d'aire
nulle),
alors on a cl>E+(V) = cl>E+(V) + cl>E+(V).
1
2
• Orientation : Si on change l'orientation de E, le flux change de signe.
cl>E-(V) = -cl>E+(V).
• Paramétrisation indifférente : Le résultat d'un calcul de flux est indépendant
de la paramétrisation qu'on choisit pour la nappe (sous réserve de respecter
l'orientation).
Nous voyons que si l'orientation d'une nappe fournie par le choix d'une paramétrisation ne convient pas à un énoncé, il n'est même pas nécessaire d'échanger les
variables pour retrouver une bonne orientation : il est bien plus simple de faire le
calcul avec cette paramétrisation, et simplement de penser à changer le signe du
résultat final.