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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
et le moment d'inertie total est donc l'intégrale sur cette surface de la fonction
k(x 2 + y 2 ). On trouve
J = Jh k(x 2 + y 2 ) du = jfv kR 2 sin 2 fJ( cos 2 c.p + sin 2 c.p )R 2 sin() dfJ dc.p
= kR4 {27r dc.p r sin3 fJ dfJ = 21rkR4 r 3 sin fJ - sin 3fJ dfJ
lo
lo
lo
4
4 M 1 [
cos3fJ] 8 =7r MR 2 [
1
1] MR 2 16 2
= 27rR - - - -3cosfJ+-- = - - 3- - +3- - - - -=-MR2
47r R 2 4
3
B=o
8
3
3
8 3 3
·
5.4.5 Flux d'un champ vectoriel à travers une surface orientée
Définition 5.23 Soit E+ une nappe orientée, et (V, g) une paramétrisation
correspondant à cette orientation (tout point de E+ s'écrit M = M ( u, v) = g ( u, v)
avec (u, v) E 'D). Soit 1f = ~ le vecteur normal réduit en tout point.
Alors, pour tout champ vectoriel V (dont l'ensemble de définition contient au
moins le support de E+), le flux de V à travers E+ est :
= Jfv V(M(u,v)) · N du dv
4>E+(V) = Jfv V(M(u,v)). ca: A 0:) dudv.
Si V = ( i) , A, B, C étant les composantes de N, on a donc :
Exemple : On veut calculer le flux du champ vectoriel V défini par
V(M)= m =OÛ.
à travers la surface E+, qui est le paraboloïde de révolution z = x 2 +y 2 -1 = f(x, y)
pour z :::;;; 0, orienté vers le haut.
E+ est ici la nappe représentative de la fonction f, et la paramétrisation naturelle
fournit la bonne orientation, nous pouvons donc l'utiliser sans problème. Précisons