5.4 INTÉGRALES DE SURFACE
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• la linéarité :
Jh[>-.f(M) + µg(M)] da=).. fh f(M) da+µ Jh g(M) da;
• la positivité : si f ~ 0, alors Jh f(M) da ~ 0;
• l'additivité : si E = Ei U E2, avec Ei n E2 négligeable, alors
Jh J(M) da= Jh 1 f(M) da+ fh 1 f(M) da;
• le fait que la valeur d'une intégrale de surface est indépendante de la paramétrisation.
Exemple 1 : Calcul de la masse d'une surface non homogène.
En tout point M = M(u, v) d'une nappe paramétrée E, on suppose qu'il y a
une masse surfacique (locale) a(M) = a(u,v) (l'unité physique de cette grandeur
serait le kg/m 2 ; cette fonction n'est pas définie en dehors de E).
Alors la masse totale de la surface E vaut
m(E) = Jh a(M) da= Jfv a(u, v)H(u, v) du dv.
Remarquons que si la masse surfacique est constante, c'est-à-dire si a(u, v) = k,
alors on a
m(E) = jfv k H(u, v) du dv = k jfv H(u, v) du dv = k. aire(E).
C'est un résultat très logique.
Exemple 2 : Moment d'inertie d'une sphère homogène par rapport à son axe.
On considère une sphère E, de rayon R (on suppose que son centre est à l'origine
du repère). Soit M sa masse. La masse surfacique de la sphère est donc la constante
k = M/4n:R 2 . Nous cherchons son moment d'inertie par rapport à l'axe Oz. Nous
utiliserons la paramétrisation de la sphère que nous connaissons, obtenue à partir
des coordonnées sphériques :
{
x = R sin() cos cp
y = R sin () sin cp
z = R cos()
( (), cp) E [0, n:] x [0, 2n:] = 'D.
On a vu que l'élément de surface vaut da = H d() dcp = R 2 sin() d() dcp.
On sait que le moment d'inertie d'un point massique de masse m, situé à la
distancer de cet axe est j = mr 2 . Le moment d'inertie d'un élément de surface
da par rapport à cet axe est donc
R
dj = (k da)r 2 = k(x 2 + y 2 ) da.