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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
âf
-x
Ici, on a p - - - ----;:====
- âx - Jl - x2 - y2
et q - âf -
-y
- ây - Jl _ x2 _ y2 de sorte que :
1
H = V 1 + p2 + q2 =
1 _ x2 _ y2 + x2 + y2
1 - x2 -y2
Jl - x2 -y2·
Finalement, l'aire de E' s'obtient grâce au calcul suivant (qui utilise le passage en
polaires) :
. ("' ) ft dx dy lo27r d() fol r dr
aire LJ -
-
- v Jl - x 2 - y 2 - o
o J1 - r2
r-1
= 27!" [-vl -r 2 ] - = 271".
r=O
On retrouve évidemment le même résultat : aire(E) = 2aire(E') = 471".
Au fait, et si la sphère n'a pas 1 comme rayon?
Dans ce cas, en reprenant la première méthode, on a dans la paramétrisation de
E un R (rayon de la sphère) : elle devient
y= R sin() sincp
((),cp) E [0,7r] x [0,27r].
{
x = R sin () cos cp
z = R cos()
Le calcul de A, B, C est le même, sauf qu'il y a à chaque fois R devant les vecteurs
dérivés, donc
A = R 2 sin 2 () cos cp = R sin () x,
B = R 2 sin 2 () sin cp = R sin () y,
C = R 2 sin () cos() = R sin() z.
On obtient donc H = R 2 sin() et le résultat final est multiplié par R 2 : on
retrouve la formule classique, à savoir que l'aire d'une sphère de rayon R est
A= 47rR 2 .
5.4.4 Intégrale de surface d'une fonction scalaire
Définition 5.22 Soit f une fonction de ~ 3 dans~' dont l'ensemble de définition
contient la nappe E (f peut d'ailleurs très bien ne pas être définie en dehors de
E).
Alors l'intégrale de f sur la surface E est :
I = Jhf(M) da= Jhf(x,y,z) do-= jfvf(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) H(u,v) dudv.
Nous admettrons que l'intégrale de surface d'une fonction scalaire possède toutes
les propriétés· habituelles des intégrales :