5.4 INTÉGRALES DE SURFACE
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Nous allons retrouver ce résultat rapidement en utilisant la proposition 5.19
(p. 243), ce qui illustrera son intérêt.
On a ici
donc
donc
G = 1 + q 2 ,
et finalement
Ces calculs (qui évitent d'avoir à calculer un produit vectoriel) permettent de
retrouver facilement
H 2 = EG - F 2 = (1 + p 2 )(1 + q 2 ) - p 2 q 2 = 1 + p2 + q2,
d'où la formule
aire(E) = Jfv J1 + p 2 + q2 dx dy.
Exemple de l'aire d'une sphère :
Nous allons faire de deux façons différentes le calcul de l'aire de la sphère unité E.
{
X= sinO COS D'abord en considérant la paramétrisation
y= sinO sinip
(O,ip) E [0,7r] x
z = cosO
[O, 27r], on a déjà vu que H = sin 0, donc très facilement (les variables sont
séparables) :
aire(E) = {{ sine dO dip = ( r sine de) ( f
2 7r dip) = 2 X 27r = 47r.
Jl[o,7r]x[o,27r]
lo
lo
D'autre part, pour utiliser ce qui précède sur l'aire d'une nappe de fonction et
pour illustrer qu'on peut changer de paramétrisation sans changer le résultat, nous
allons considérer la demi-sphère supérieure E' comme la nappe représentative
de la fonction f(x,y) = Jl - x 2 -y 2 , sur le domaine 'D formé dans le plan Oxy
par le disque unité caractérisé par x 2 + y 2 :::; 1. L'aire de E est évidemment le
double de l'aire de E'. (On ne doit jamais hésiter à faire ce genre de considérations
géométriques.)