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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
5.4.3 Aire d'une nappe
Nous utiliserons une notion intuitive de la notion d'élément de surface.
Lorsque, à partir d'un point Mo = M( u, v), on augmente légèrement u de du, sans
toucher à v, on obtient le point Mi= M(u+du, v) de E. Pour du infiniment petit,
on admet que Mi~ Mo+~~ du (à vérifier pour chaque fonction composante).
De même, l'augmentation légère de v à v+dv fait passer de Mo à M2 = M(u, v+dv)
et on admet que M2 ~Mo+ 8 8 ~ dv. L'élément de surface sur la nappe E est donc
l'aire du parallélogramme élémentaire MoMiM3M2 (avec M3 = M(u + du,v +
fiM
fiM
.
dv) ~Mo+ ôu du+ ôv dv). On le note dO" et il vaut
~ ~ l l fi M fi Ml l
-:-t
dO' = llMoMi /\ MoM2ll = ôu /\ av du dv = llN Il du dv = H du dv.
Ayons conscience que ce qu'on vient de faire n'est en aucun cas une démonstration,
mais une aide pour comprendre la définition qui va suivre.
Définition 5.20
Si E est une nappe paramétrée par M ( u, v), ( u, v) E 'D, alors l'aire de E est
donnée par:
aire(E) = Jh
Nous admettons évidemment la propriété suivante.
Proposition 5.21
L'aire d'une nappe paramétrée ne dépend pas de la paramétrisation utilisée pour
son calcul.
Aire d'une nappe de fonction
Il est intéressant d'appliquer ce qui précède dans le cas d'une nappe représentative
d'une fonction E: z = f(x, y) pour (x, y) E 'D.
En posant (comme p. 115) p = ~~ = ~~ (x, y) et q = ~~ = ~~ (x, y), et en
utilisant le calcul fait plus haut (p. 242), puisqu'on a vu que H = Jl + p 2 + q 2 ,
on a
aire(E) = Jfv J1 + p 2 + q2 dx dy.
CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
5.4.3 Aire d'une nappe
Nous utiliserons une notion intuitive de la notion d'élément de surface.
Lorsque, à partir d'un point Mo = M( u, v), on augmente légèrement u de du, sans
toucher à v, on obtient le point Mi= M(u+du, v) de E. Pour du infiniment petit,
on admet que Mi~ Mo+~~ du (à vérifier pour chaque fonction composante).
De même, l'augmentation légère de v à v+dv fait passer de Mo à M2 = M(u, v+dv)
et on admet que M2 ~Mo+ 8 8 ~ dv. L'élément de surface sur la nappe E est donc
l'aire du parallélogramme élémentaire MoMiM3M2 (avec M3 = M(u + du,v +
fiM
fiM
.
dv) ~Mo+ ôu du+ ôv dv). On le note dO" et il vaut
~ ~ l l fi M fi Ml l
-:-t
dO' = llMoMi /\ MoM2ll = ôu /\ av du dv = llN Il du dv = H du dv.
Ayons conscience que ce qu'on vient de faire n'est en aucun cas une démonstration,
mais une aide pour comprendre la définition qui va suivre.
Définition 5.20
Si E est une nappe paramétrée par M ( u, v), ( u, v) E 'D, alors l'aire de E est
donnée par:
aire(E) = Jh
Nous admettons évidemment la propriété suivante.
Proposition 5.21
L'aire d'une nappe paramétrée ne dépend pas de la paramétrisation utilisée pour
son calcul.
Aire d'une nappe de fonction
Il est intéressant d'appliquer ce qui précède dans le cas d'une nappe représentative
d'une fonction E: z = f(x, y) pour (x, y) E 'D.
En posant (comme p. 115) p = ~~ = ~~ (x, y) et q = ~~ = ~~ (x, y), et en
utilisant le calcul fait plus haut (p. 242), puisqu'on a vu que H = Jl + p 2 + q 2 ,
on a
aire(E) = Jfv J1 + p 2 + q2 dx dy.