5.4 INTÉGRALES DE SURFACE
243
Tous les points d'une nappe de fonction sont donc des points réguliers, et de plus,
comme la troisième coordonnée C de N est toujours positive ( C = 1), on voit que
l'orientation naturelle d'une nappe de fonction est vers le haut.
Autre calcul de H
Avec les notations usuelles, en un point M = M(u, v) d'une nappe E, il est d'usage
de poser E ~ ( °E)
2 (il s'agit d'un carré scalaire), F ~ a;! · a;! (· est le
aM 2
produit scalaire), et G = ( ~v )
On a le résultat suivant :
Proposition 5.19
H= VEG-F 2 .
Preuve Remarquons tout d'abord que la quantité sous le radical : EG - F 2
est positive en vertu de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (voir p. 5) : posons pour
. .
aM
aM
s1mphfier ut 1 = ou et uT2 = ov .
L'inégalité de Cauchy-Schwarz dit que 1ut1 · ut 2 I ~ Il uT 111.11ut2 li
En élevant au carré, on obtient
Ensuite, remarquons que l'égalité à démontrer s'écrit H 2 = EG - F 2 • Or, on a
Mais un résultat classique concernant la norme du produit vectoriel dit que
Posant a= (02), on en déduit que
H 2 = llut 111 2 llut2ll 2 sin 2 a= uti ut~ sin 2 a
= EG(l - cos 2 a) = EG- llut111 2 11ut211 2 cos 2 a
= EG- lut1 · ut21 2 = EG-F 2 .
(On a utilisé le résultat classique 1t · 1i = 111ill 117ill cos(~)).
D