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On en déduit
CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
H 2 = sin 4 () cos 2 cp + sin 4 () sin 2 cp + sin 2 () cos 2 ()
= sin 2 () (sin 2 e(cos 2 cp + sin 2 cp) + cos 2 e)= sin 2 ()
H =sin() (puisque () E [O, 11"]).
Finalement, à part aux « pôles », tous les points de la sphère sont des points
réguliers pour cette paramétrisation. La normale est dirigée par
N = ( :!;~:~~:;) =sin() ( :!::~~:;) =sin() ( : ) = HoM.
sm () cos ()
cos ()
z
De sorte que 1f = oM. Ce résultat était prévisible, et il est intuitivement évident.
Cette paramétrisation correspond à une orientation de la sphère vers l'extérieur
(lf est dirigé vers l'extérieur de la sphère).
Remarque:
.
. aMaM aMaM
Si on change l'ordre des variables (u, v), pmsque âv /\ âu = - âu /\ âv , il
est clair que le vecteur normal 1f change de sens, et donc l'orientation de E est
changée.
Par conséquent, si on n'est pas satisfait de l'orientation fournie par une paramétrisation, il suffit d'échanger l'ordre des variables pour y remédier.
Cas d'une nappe de fonction
La paramétrisation naturelle d'une nappe de fonction
{
x=x
y=y
z = f(x,y)
(x,y) EV
amène les calculs suivants
A= ây âz _ âz ây =O. âf _ âf .l = _ âf ;
âx ây âx ây
ây âx
âx
B = âzâx _ âxâz = âf.0-1.âf = _ âf;
âx ây âx ây
âx
ây
ây
C = âx ây _ ây âx = l.l - O.O = 1 ;
âxây âx ây
H 2 = ( ~) 2 + ( ~) 2 + l ;
H= (~;)2+(~~)
2
+1#0 V(x,y).