5.4 INTÉGRALES DE SURFACE
241
Orientation d'une nappe
Il est logique, à ce stade de se poser à nouveau une question : cette notion de
vecteur normal à la nappe est-elle toujours indépendante de la paramétrisation,
ou dépend-elle de cette paramétrisation ?
La réponse est dans l'énoncé suivant :
Proposition 5.18
La direction du vecteur 1f est indépendante de la paramétrisation utilisée pour
caractériser :E.
Preuve Ce résultat est en fait une conséquence immédiate de la proposition
5.17 (p. 239) : puisque nous avons admis que le plan tangent ne dépend pas de la
paramétrisation, il est logique que 1f qui est un vecteur orthogonal à ce plan ait
une direction fixe.
0
Puisque la norme du vecteur 1f est fixée (à 1), et que sa direction ne peut pas
changer, la seule chose qui peut varier chez 1f selon la paramétrisation de :E que
l'on utilise est le sens.
Une paramétrisation (V, g) étant choisie pour :E, il y a donc deux sortes de
paramétrisations équivalentes de :E : celles qui conservent le sens de 1f (et par
continuité de 1f, cette conservation est acquise pour tous les points de la nappe
dès qu'on l'a en un point), et celles qui changent son sens.
Choisir une paramétrisation de :E permet donc d'orienter :E. On choisit donc ainsi
en tout point une notion de « haut » (du côté de 7f) et un bas. Notons que cela
oriente aussi tout les plans tangents, et nous admettrons que le bord de :E se
trouve ipso facto orienté (c'est facile à concevoir : dès qu'il y a une notion de haut,
on sait ce que veut dire le sens direct et le sens des aiguilles d'une montre).
Exemple de la sphère :
{
x = sin () cos
y = sin() sin c.p
z = cosO
(0, c.p) E [0, 7r] x [0, 27rj,
on fait les calculs suivants, en un point M = M(O, c.p).
A 8y 8z 8z 8y
() . 0 ( . 0) . ()
. 2 ()
= 80 8c.p - 80 8c.p = cos sm t.p. - - sm sm cos t.p = sm cos c.p j
B 8z 8x 8x 8z ( . 0) ( . () . )
()
0
. 2 () .
= 80 81.p - 80 8c.p = - sm - sm sm t.p - cos cos t.p. = sm sm t.p j
C 8x 8y 8y 8x
()
. ()
() .
. 0( . )
= 8() 81.p - 8() 81.p = cos cos c.p sm cos c.p - cos sm t.p sm - sm t.p
= sin() cos () ( cos 2 c.p + sin 2
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Orientation d'une nappe
Il est logique, à ce stade de se poser à nouveau une question : cette notion de
vecteur normal à la nappe est-elle toujours indépendante de la paramétrisation,
ou dépend-elle de cette paramétrisation ?
La réponse est dans l'énoncé suivant :
Proposition 5.18
La direction du vecteur 1f est indépendante de la paramétrisation utilisée pour
caractériser :E.
Preuve Ce résultat est en fait une conséquence immédiate de la proposition
5.17 (p. 239) : puisque nous avons admis que le plan tangent ne dépend pas de la
paramétrisation, il est logique que 1f qui est un vecteur orthogonal à ce plan ait
une direction fixe.
0
Puisque la norme du vecteur 1f est fixée (à 1), et que sa direction ne peut pas
changer, la seule chose qui peut varier chez 1f selon la paramétrisation de :E que
l'on utilise est le sens.
Une paramétrisation (V, g) étant choisie pour :E, il y a donc deux sortes de
paramétrisations équivalentes de :E : celles qui conservent le sens de 1f (et par
continuité de 1f, cette conservation est acquise pour tous les points de la nappe
dès qu'on l'a en un point), et celles qui changent son sens.
Choisir une paramétrisation de :E permet donc d'orienter :E. On choisit donc ainsi
en tout point une notion de « haut » (du côté de 7f) et un bas. Notons que cela
oriente aussi tout les plans tangents, et nous admettrons que le bord de :E se
trouve ipso facto orienté (c'est facile à concevoir : dès qu'il y a une notion de haut,
on sait ce que veut dire le sens direct et le sens des aiguilles d'une montre).
Exemple de la sphère :
{
x = sin () cos
y = sin() sin c.p
z = cosO
(0, c.p) E [0, 7r] x [0, 27rj,
on fait les calculs suivants, en un point M = M(O, c.p).
A 8y 8z 8z 8y
() . 0 ( . 0) . ()
. 2 ()
= 80 8c.p - 80 8c.p = cos sm t.p. - - sm sm cos t.p = sm cos c.p j
B 8z 8x 8x 8z ( . 0) ( . () . )
()
0
. 2 () .
= 80 81.p - 80 8c.p = - sm - sm sm t.p - cos cos t.p. = sm sm t.p j
C 8x 8y 8y 8x
()
. ()
() .
. 0( . )
= 8() 81.p - 8() 81.p = cos cos c.p sm cos c.p - cos sm t.p sm - sm t.p
= sin() cos () ( cos 2 c.p + sin 2